把握核心思想 强化学生二次函数解题能力

李 朝

(湖北省湖北大学附属中学 430062)

一、二次函数试题的一般解题路径及其核心思想

一次函数的几何特性是直线,二次函数则有明显不同，其几何特性是曲线.这种差异使得很多在学习时不善于运用数形结合方法的学生产生了学习障碍，而一些善用数形结合方法的学生又可能因数学四则运算不熟练而出现解题失误.

从本质上看，二次函数解题错误的根本问题在于二次函数的代数和几何特性都在试题中有较高的出现率(一次函数试题中代数运算的考察比重更高)，在一些复杂问题中学生容易找不到问题的关键点，进而出现错误.因此，本文认为二次函数的解题关键在于把握问题的核心，从而寻找最适合的数学方法来解决相应问题.例如试题“函数y=x2+2ax+b的图象与x轴交点分别为A、B，与y轴交于点C(0，2)，已知三角形ABC面积为6，求a、b的值.”该问题的题干中同时给出了二次函数的代数(函数式)和几何性质(坐标系中的点)要素，多数学生会习惯性地绘制函数图形来分析问题，然后把重点放在求A、B两点的坐标上，这时学生必然会发现在图形中难以准确判断A、B坐标点，仍要回归到函数关系上来(仅借助三角形面积知识求取交点差值来获取函数值为0时两个解的差值，即SABC=(|x1-x2|·2)/2=6)，把结果代入二次函数根的计算公式即可求出a、b的值.

因此，解决二次函数问题的一个核心思想是判断题目所要考察的问题，虽然题目中对于二次函数代数和几何特性的展现频率都相对较高，但实际考察的内容仍会以代数性质为主.因此要注重培养学生提炼关键条件和要素并尝试转化的能力，最终向二次函数及其根的代数形式靠拢，把握转化和简化这一核心思想来解决所有二次函数问题.

二、二次函数解题中主要转化思想

二次函数问题的一般解决方法是转化，但所应用的转化思想较为多样，其中典型的转化思想有如下三种，教师可根据学生弱项进行强化训练.

第二种，对称简化.对称性是二次函数的特有几何属性，该属性是函数计算中隐藏的条件，少数初中二次函数问题中会考察这一知识点，大多数不考察该知识点的问题也能够使用这一特性来简化运算.建议教师先对函数对称的代数表现进行详细分析，重点说明函数最值和根为中心点，两侧函数的对称性，由此在应用中发现题目中有成对根、最值点坐标等关系时，先考虑二次函数的对称性，利用这一性质来丰富有效条件并辅助解题.

第三种，联想转换.联想转换是一种更复杂但也更高效的数学转化思想，一般在高中及以上层次的数学学习及应用中出现率较高，但对于一些难度较高的初中二次函数问题也有奇效.比如“已知二次函数y=x2+2ax+b两个根的大小关系(x1

三、二次函数解题能力强化训练的建议

结合前文分析来看，二次函数解题能力的关键不在于掌握一种绝对正确的解题法，而是要掌握正确的解题思路和丰富的数学思想，由此实现一通百通的理想效果，笔者建议教师可以在教学中通过如下方法来培养学生的解题能力：

第一，培养学生的审题习惯.在课堂练习过程中，教师应经常性地对问题进行解析，按照题干要素收集、问题定位与本质识别、问题关联有效要素的筛选这三个步骤对问题进行提炼，通过这种说题方法不断培养学生科学审题的习惯，帮助学生准确把握核心问题.

第二，尽可能要求学生一题多解，以多样尝试巩固转化方法运用熟练度.即在多样化的尝试中提高学生对二次函数核心性质、计算公式的理解与应用水平，也丰富学生的解题经验，让学生较早地熟悉绝大多数二次函数知识应用和考察形式.

第三，及时总结和反思，梳理转化方法的适用情境.即在经过一定量的训练后，教师应当对二次函数解题时使用的三类转化方法进行总结，直接说明所运用的具体数学思想，让学生充分认识也认同数学思想在解题中的价值，从而将相应数学思想拓展应用到其他数学知识的学习和应用中去，在强化学生数学思想应用能力的同时也强化其应用此类思想解决二次函数问题的能力.