“奔驰定理”的多种证法及其应用

江西师大数信学院 (330022)

裴珊珊 陈德富 李 霞

“奔驰定理”是平面向量在探究三角形面积规律中一个优美的结论，因所述定理对应的图像与奔驰车的标志相似而得名.本文给出了以下五种证法，并通过示例展示其在求解数学竞赛题中的应用.

图1

下面从五个不同思路出发对定理的证明展开探索.

证法一：利用三角形面积与线段比例关系推导.

如图2，延长AP交BC于Q点(S=SA+SB+

图2

证法二：利用正弦形式的三角形面积公式.

图3

证法三：利用三角形重心的性质.

图4

证法四：利用向量按垂直坐标系分解的性质.

图5

证法五：利用平面向量分解的基本定理.

图6

利用奔驰定理可以容易解决如下问题：

解析：由题意可知SΔBPC∶SΔAPC∶SΔAPB=1∶ 2∶ 3,由合比性质得SΔABC∶SΔAPC=(SΔBPC+SΔAPC+SΔAPB)∶SΔAPC=6∶ 2=3∶ 1，选(C).

(A)14∶ 3 (B)19∶ 4 (C)24∶ 5 (D)29∶ 6