推进“让学引思”，构建“生长型”课堂——“直线与圆的综合应用”教学实录

江苏省盐城市龙冈中学 (224011)

张晓芹 陈建权

目前,新课程背景下的数学教学改革已进入关键时刻，新一轮教学改革理念的落实，最终还要依赖每一位教师的学科教学.课堂既是学生的主战地，亦是教师授课的主战场.课堂教学中，教师希望学生能够全面掌握课堂设计的教学内容、方法，并解决相关的问题，提升个人的数学素养和综合能力.然而，目前填鸭式的讲解不仅难以达到预期效果，且会打击学生学习的兴趣.在此背景下，我校积极倡导“让学引思”理念，并以此构建“生长型”课堂：让学生质疑解惑，引发其深度思考；让学生合作探究，引领其优化学习方法；让学生展示分享，引领其投入学习活动；让学生科学训练，引导其自测学习效果；让学生归纳整理，引导其完善知识结构；让学生迁移拓展，引导其学会解决问题；让学生主动交流，引领其提高思维层次.基于此教学理念，笔者于2017年12月6日在高三年级一轮复习中开设了一节“直线与圆的综合应用”的市级研讨课，自觉将“让学引思”的理念与教学实践有机结合，让学生成为课堂学习的主角，培养其思辨能力.本节课的教学实录如下：

教学实录

一、考纲解读(幻灯片)

高考试题考查内容核心素养解题方法难度系数2013:第17题(14分)圆的切线及圆与圆的位置关系应用数学运算直接计算0.4952014:第9题(5分)求弦长数学运算直接计算0.822014:第18题(16分)直线与圆的位置关系的应用数学建模与数学运算数形结合0.352015:第10题(5分)直线与圆相切问题数学运算数学结合0.802016:第18题(16分)圆的方程,直线与圆相交问题数学运算数学结合0.462017:第13题(5分)圆的方程、圆与圆的位置关系数学运算数学结合中等

设计意图：通过表格展示直线与圆的考试内容以及题型、题号，让学生初步感受本节课的重要性，把握学习内容重点，激发学生学习热情.

二、知识梳理(幻灯片)

设直线的一般方程：Ax+By+C=0；圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.

直线与圆的位置关系相交相切相离图形公共点个数个个个几何法:圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2研究d与r的关系drdrdr代数法:联立方程Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2 研究方程组解的情况Δ0Δ0Δ0

设计意图：这部分内容主要结合幻灯片，对照图形，以填空的形式，由同学们集体回答.唤起学生对直线与圆的位置关系知识的回忆，强调判定直线与圆位置关系的两种方法：几何法与代数法，渗透数形结合思想.

三、基础训练

2.已知点M(3,1)及圆(x-1)2+(y-2)2=4，则过M点的圆的切线方程为.

3.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.

4.已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0相交于A,B两点，则当线段AB最短时直线l的方程为.

这几道习题难度不大，由学生课前完成.批阅后，发现错误率较高的有2、4、5题.笔者让学生先互相讨论，纠正错误，再找做错的同学剖析错误.

师：对比1，2题，大家对求圆的切线方程有怎样的认识？

生1：在求切线方程时，要考虑切线的斜率是否存在，再根据圆心到直线的距离等于半径求斜率.

师：很好.第1题圆的切线方程有一个，而第2题却有两个，为什么？

生1：第1题点在圆上，而第2题点在圆外.

师(赞许地点了点头)：对.因此，在求圆的切线方程时，首先注意什么？

生1：先判断点与圆的位置关系.

师：如果点在圆上，除了用圆心到直线的距离等于半径的方法求圆的切线方程，还有其他办法吗？(学生1表现出茫然的神色)

师：请你想想，直线与圆相切有怎样的几何性质？

生1(思索了片刻)：过圆心、切点的连线与切线垂直.所以可以先求出圆心与切点连线的斜率，从而得到切线的斜率，再用点斜式写出切线方程.

师：非常好.(教者在黑板上板书求圆的切线方程的步骤，即先判断点与圆的位置关系.若点在圆上，切线只有一条.若点在圆外，切线有两条.设点斜式直线方程时要注意讨论斜率是否存在.)

师：第3题，你是如何求弦长的？

师(环视了下同学们)：非常好，一定要求出交点坐标吗？

|x1-x2|.

(教者将三种求圆的弦长的方法进行板书.)

师：在这三种方法中，大家要根据问题进行适当的选择.下面我们来探讨一下第4题用哪种方法好呢？

(学生4的方法是按照求弦长公式做的，思路清晰，但计算量较大.有些学生很佩服学生4，也有的学生认为这种方法太繁琐了.)

生5(迫不及待的站起来)：老师，我有简单的方法.

师：两个学生的做法都很好，学生4的基础知识掌握的非常扎实，计算能力也很强.学生5对圆的几何性质挖掘的很到位.大家给两位同学鼓掌！

师：作业的第5题错误率较高，下面我们请学生6给大家讲解一下！(学生一边叙述，我在黑板上一边书写，将整个解题过程清晰地呈现给大家.)

师：很好！这两位同学再次从代数和几何的角度分析了此题.通过这几题的分析，相信大家对直线与圆的相切、相交问题有了更深刻的认识.

设计意图：这是高三一轮复习课，学生对直线与圆的位置关系的相关内容有一定的认识，能够解决基础问题.但在解决具体问题时，却存在不少缺陷.如第2题不考虑斜率不存在的情形，第4、5题运用代数法解题时计算出错等.课堂上学生通过自查自纠，可提高自己的综合分析能力.

四、典例研习

(这两道题比较简单，采用投影的方式进行点评.)

设计意图：第(1)题巩固求弦长的方法；第(2)题让学生发现直线l与OP垂直，为变式做好铺垫.

师：要想求出直线l的方程，还需要什么条件？

生(齐声)：斜率或者另一个点的坐标.

师：非常好.下面就请同学们先独立思考，再和小组成员交流，最好把关键步骤写在纸上方便交流.

(七八分钟后)师：哪位同学来和大家分享一下.

生8：(边投影边阐述)设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1)+2.联立圆的方程x2+y2=8，消去y得到关于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+4k)x+k2+4k-4=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理，得x1+x2=

师：非常棒！这位同学思维敏捷，计算能力也很强，能在这么短的时间得到x1,x2的关系.有无漏洞？

生8：(有点羞涩)忘记讨论斜率不存在的情况了.

师：下次注意啊！还有其它方法吗？

(同学们互相看了看，交流了一会儿)

师：这一思路也很清晰.设点和设斜率的方法都是常用的方法，不仅用于直线与圆相交的问题，在直线与椭圆等二次曲线相交的问题中都经常会用到，希望大家掌握.还有其他方法吗？

师：太棒了！大家对比三种做法，觉得哪种计算量小些呢？

生：第三种！(学生们齐呼，表示惊讶.)

师：如果点P是圆外一点呢？以上三种方法还适用吗?

生(齐答)：适用.

师：还有没有其他方法呢？若点P在圆内，线段APB是圆的一条弦.若点P在圆外，线段PAB是圆的一条…(故作停顿，给学生思考的时间)

生：割线.

师：对的.初中我们学过关于割线的什么性质？该性质能否帮助我们解题呢？大家考虑一下！

(学生经过提示，开始了热烈的小组讨论，四五分钟后基本上就安静下来了)

图1

师：解释的太棒了，鼓掌送给他！通过上述问题，我们发现恰当地运用圆的几何性质可简化计算.在求弦长问题中，我们根据垂径定理，构建了直角三角形.两个变式中，我们仍可以构建直角三角形，将问题转化为圆心到直线的距离问题.希望大家遇到直线与圆相交的问题时，能多运用圆的几何性质帮助解题.

设计意图：该例题重在研究直线与圆相交问题，通过两个变式、三种方法提高学生的思维水平.三种方法的对比，让学生感受运用圆的几何性质的优势，数形结合、转化化归思想得以渗透.

师：刚才我们研究了直线与圆相交的问题,下面我们再来看一道直线与圆相切的问题.

图2

例2 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4，直线l：x+y-6=0,A为直线l上一点．

(1)若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P、Q,求∠PAQ的大小；

(2)若圆M上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，求点A横坐标的取值范围．

第(1)问较简单，采用投影的方式进行点评.第(2)问由于A、B、C三点都是动点，难度较大，只有个别学生能够做对.因此，笔者借助几何画板进行说明.

当点A固定,B、C在圆上运动时，当且仅当直线AB、AC与圆相切时，∠BAC最大，见(图2).若圆上存在B、C点使∠BAC=60°，则需两切线的夹角大于等于60°.此时，问题已经转化为直线与圆相切问题.

师：直线与圆相切，同学们有怎样的思考？

生(齐答)：连结AM、MC、MB构建直角三角形.

师：很好，大家试着写一写.(教者巡查，并投影点评了一位学生的解答过程).

师：非常好.同学们不仅要理解题意，还要规范答题.此外，大家再回头看一下我们的解题思路.同时考虑A、B、C三个动点难度较大，我们将问题进行了分解.先把A点固定，只考虑B、C两个动点.此外，大家必须理解“存在”的意思，进而将问题转化为直线AB、AC与圆相切.因此，大家今后遇到较难的题目时，一定要学会将问题分解转化.下面再来看个变式.

图3

变式在图3中，过点A作圆M的两条切线，切点分别为N、T．

①求四边形ATMN的面积的最小值；

②求四边形ATMN的周长的最小值．

师：大家和我一起来书写，好吗？

师：在第(2)题直线与圆相切问题中，我们再次构建了直角三角形.可见直角三角形在解决直线与圆的位置关系问题中很重要，希望大家引起重视.

设计意图：该例题重在研究直线与圆相切问题.“三个动点”、“存在”把学生带入了困境.但是通过对问题的分解、转化逐步使问题变得简单明朗.让学生再次感受数形结合、转化化归思想的重要性.

五、随堂巩固

2.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围是.

(随堂巩固的两道题，请两位同学板演，并进行了点评.)

设计意图：两道题目与本节的两道例题相似.第1题侧重直线与圆相交、相切时求弦长、切线长的计算问题.第2题同例2，出现了“存在”二字，如何有效地将问题转化则是考查重点.让学生能够学以致用，举一反三是检查课堂有效性的基本方法.学生板书不仅可以反映解题思路，还能达到规范答题的目的.

六、课堂总结

师：本堂课，大家有哪些收获呢？

(师生简短的梳理、讨论后，总结如下)：

(1)求弦长公式的解法；

(2)求圆的切线方程；

(3)在直线与圆相交或相切问题中，常常构建直角三角形简化问题；

(4)数形结合思想、转化化归思想.

师：让我们用数学家华罗庚的名言来结束本堂课.研究科学最宝贵的精神之一，是创造的精神，是独立开辟荒原的精神.科学之所以得有今日，多半是得利于这样的精神.在“山穷水尽疑无路”的时候，卓越的科学家往往是另辟蹊径，创造出“柳暗花明又一村”的境界.

设计意图：课堂教学不仅让学生学习具体的知识，还要学习归纳解题的思想方法.

七、教学反思

本节课教者主要通过考纲解读、知识梳理、基础训练、典例研习、随堂巩固、课堂总结六个环节，紧紧围绕直线与圆的相交、相切问题展开.根据高三学生具备必有的基础知识和一定的思考分析能力，笔者在教学中以知识为载体，创造性实施教学，重视学生的主体性，兼顾教师的主导作用，让学生学会独立思考，充分实现了“让学引思”的理念.口述、讨论、投影、板演、几何画板动画展示，形式多样.学生们通过对典型问题的挖掘探讨、对比总结，不仅掌握了通过数形结合、转化化归等思想探求解决直线与圆问题的一般方法，还提升了数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养和思辨能力，教学效果良好.

(1)科学合理设计，凸显教学本质

应试教育禁锢了传统课堂教学的活力，出现了教师满堂灌、学生参与少、课堂实践弱、教师主导性有偏差等问题，使得学生丧失了学习热情，缺乏创新的能力和勇气，沦为了考试机器.

教学是一个不断突破自我、不断质疑和解决问题的过程.教学设计应能体现教学本质，适应学生的思维水平.因此本节课中，笔者不论在问题设置、互动环节、还是例题展示等方面，既考虑到学生的实际思维能力和解题能力，又富有一定挑战性，教学过程因此变得流畅、生动、有趣，严谨又灵动，符合认知规律，达到了预期教学目的.

(2)以学生为主体，培养其思辨能力

思辨能力是现代课堂教学中的核心理念，而学生则是这一认知活动的主体.现有的课堂教学应当建立在学生合理的知识水平和思辨能力之上.这就要求教师了解学生已有的认知水平，及时对教学手段和教学策略进行科学化调整.在本课堂教学中，笔者通过设置考纲解读、知识梳理、基础训练、典型研习、随堂巩固等环节，明确阐释出本节课的教学重点，环环相扣、由浅入深，通过仔细观察和科学引导，实现了科学推理和演绎.笔者并非将知识点简单概念化，而是通过合理的问答设计，帮助学生将生涩的抽象概念变为切实的“直观感悟”，实现了理论的科学化论证，进一步加强学生思维能力的培养，全面提高其数学素养和学习创新能力.