对2018全国卷几道高考导数试题的另解及思考

四川省南充高级中学 (637000)

张小丹

一 试题及解析

例1 (2018全国卷Ⅲ理科数学21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.

1.对比答案

官方参考答案

解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，这与x=0是f(x)的极大值点矛盾；

③如果6a+1=0，h′(x)=

端点分析法答案

解：f(0)=0，∵x=0是f(x)的极大值点，∴在x=0的附近(除x=0)有f(x)<0(*)

∵函数f″(x)在(0，+∝)上连续，∴∃x0>0,使得当00，∴f″(x)在(0,x0)上单增，∴当x∈(0,x0)时，f″(x)>f(0)=0，∴f′(x)在(0,x0)上单增，∴当x∈(0,x0)时，f′(x)>f′(0)=0，∴f(x)在(0,x0)上单增，∴当x∈(0,x0)时，f(x)>f(0)=0，这与(*)式矛盾；

又f′(0)=0，∴当-10，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(-1,0)上单增，在(0,+∝)上单减，∴x=0是f(x)的极大值点.

2.反思感悟

对于参考答案，个人认为“构造函数h(x)，并分析它与f(x)的关系”是一个难点，该难点恐怕很多学生，甚至老师都不易想到.所以，就解题思路而言，参考答案确实需要较强数学直觉以及解题功底.

对于端点分析法，想到它的突破口是题目的设问方式(可转化为一个恒成立问题)及隐含条件f(0)=0，这是导数中运用“端点分析法”(解决一类恒成立问题的方法)的必要条件.若注意到此，那么接下来就是运用“端点分析法”求解了.

个人认为“端点分析法”目标明确，思路流畅，与参考答案相比，有其独到的优势.

实际上，在今年的高考试题中，还有两道导数试题也可用此法.

例2 (2018全国卷Ⅰ文科数学21题)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

官方参考答案

端点分析法答案

又g′(1)=0，∴当01时，g′(x)>0.

∴g(x)在(0,1)上单减，在(1,+∝)上单增.∴g(x)≥g(1)=0.于是f(x)≥g(x)≥0.从而原命题得证.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0.

官方参考答案

解(2):由题意,原不等式等价于ex+1+ax2+x-1≥0恒成立.

令g(x)=ex+1+ax2+x-1，∴g′(x)=ex+1+2ax+1，g″(x)=ex+1+2a，∵a≥1，∴g″(x)>0恒成立，∴g′(x)在(-∝,+∝)上递增，∴g′(x)在(-∝,+∝)上存在唯一x0使g′(x0)=0，∴ex0+1+2ax0+1=0，即ex0+1=-2ax0-1，且g(x)在(-∝,x0)上单减，在(x0,+∝)上递增，∴g(x)≥g(x0).

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综上所述，当a≥1时，f(x)+e≥0.

端点分析法答案

解(2)：不等式f(x)+e≥0等价于ax2+x-1+ex+1≥0，设g(x)=ax2+x-1+ex+1，当a≥1时，g(x)=ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1，设h(x)=x2+x-1+ex+1，∴h′(x)=2x+1+ex+1，易知h′(x)在(-∝,+∝)上递增，又h′(-1)=0，∴当x<-1时，h′(x)<0，h(x)递减，当x>-1时，h′(x)>0，h(x)递增.

∴h(x)≥h(-1)=0，于是g(x)=ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1得证，从而原不等式得证.

二、方法总结

端点分析法是解决导数中一类恒成立问题的常用方法.此类问题特征较为明显，一般是具有“对任意x>a(x≥a)，不等式f(x)>0(f(x)≥0)恒成立”(**)这样的形式或者可以化为这样的形式，且满足f(a)=0(f′(a)=0或f″(a)=0)，即代入区间端点，刚好可使不等式取等号.

具体解题思路如下：

③证明当f′(a)<0时不满足题设(必要性)；

④证明当f′(a)≥0时满足题设(充分性).

说明：(1)若f′(a)=0，则证明f″(a)<0(f″(a)≥0)不满足(满足)题设；

(2)并非所有满足条件(**)的题目均可用端点分析法，即有时必要性满足，但充分性不满足.具体问题需要具体分析.

三、其他试题

在近几年的高考试题中，类似试题并不少见.

题1 (2017全国卷Ⅱ文科数学21题)设函数f(x)=(1-x2)ex.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

题2 (2016全国卷Ⅱ文科数学20题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1,+∝)时，f(x)>0，求a的取值范围.

题3 (2016四川卷理科数学21)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当x>1时，g(x)>0；

(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+∝)内恒成立.