一道伊朗竞赛题的背景、证明、变式与拓展探究

广州大学数学与信息科学学院 广州大学计算科技研究院(510006)广州市第二中学(510530) 程汉波

深圳中学(518000) 朱华伟

1. 背景与证明

此题最初由宁波大学陈计教授提出并刊登在《Crux Mathematicorum》杂志1994 年第108 页上作为数学问题1940,波兰解题高手Marcin E.Kuczma(Erdos 奖获得者)曾在该刊1995 年第107 页发表一个“简单”的证法,但随后便发现存在问题并致歉. 之后香港Kee-Wai Lan 在第206-207 页发表了一个较长证明,其中动用了导数,杂志编辑还特别提到希望看到该问题简洁的证法,然而四、五年内并未收到令大家都满意的证法. 因为在当时甚至包括现在,很多不等式爱好者都追求简洁漂亮的证法(不用微积分、不用复杂展开计算、不要难以理解、不要太长过程等).

伊朗人还是不满足当前复杂的证法,特别期待简洁的证法,于是把该题作为1996 年数学奥林匹克试题,试图借此引起不等式高手们的关注以寻求简单证法,可是二十余年过去了,结果却不尽人意,有不等式爱好者收集整理了21 种不同的证明方法(见文“伊朗96 不等式的21 种证明”),而每种证法均没有摆脱复杂且技巧性较强的代数变形,与问题的简洁形成了鲜明的对比.

陈计教授曾利用Schur 不等式和Muirhead 不等式给出过如下大约只有一行的证明方法,但其高超的技巧性与缺乏配凑缘由的神秘,似乎并不能令大家满意.

2. 变式

3. 拓展