一道2020年高考数列题的十种证法探究

2021-08-05 09:51武增明
数理化解题研究 2021年10期
关键词:证法通项考题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

试题设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

这是2020年高考全国Ⅲ卷理科数学第17题.

这道考题的第(1)问是以数列递推式为背景,求数列的通项公式问题,此问题符号优美,题面简洁,构思巧妙,立意新颖,让人赏心悦目,耐人寻味,回味无穷,涉及的数学知识和蕴含的数学思想方法非常丰富,逻辑推理性很强,具有很大的探究价值,具有很高的训练价值,具有很强的代表性,是一道训练数学思维的好题,很值得深入探究.于是,引起笔者极大的探究兴趣与热情.下面给出此题第(1)问的十种证法,旨在供同仁在教学过程中作参考,旨在对同学们在学习这类问题时有所帮助和启示.

证法1 (试验法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

若an=2n+1,则an+1=2(n+1)+1=2n+3,

又3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3,

此时an+1=3an-4n成立,所以an=2n+1.

证法2 (数学归纳法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

(1)当n=1时,由an=2n+1知,a1=3,符合题意,故当n=1时,an=2n+1成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,an=2n+1成立,即ak=2k+1成立.

则n=k+1时,因为ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1,

所以当n=k+1时,an=2n+1成立.

由(1),(2)可知,对于任意正整数n,an=2n+1成立.

证法3(正向思维迭代递推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

因为an+1=3an-4n,

所以a2-5=3(a1-3),

a3-7=3(a2-5),

a4-9=3(a3-7),

……

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)].

因为a1-3=0,

所以an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

证法4(逆向思维迭代递推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],

……

a2-5=3(a1-3).

因为a1=3,即a1-3=0,

所以an-(2n+1)=0,即an=2n+1.

证法5(逆向思维迭代递推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

因为an+1=3an-4n,①

所以an=3an-1-4(n-1),②

①-②,得an+1-an=3an-3an-1-4,

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2),

所以an-an-1-2=3(an-1-an-2-2),

……

a4-a3-2=3(a3-a2-2),

a3-a2-2=3(a2-a1-2).

因为a2-a1-2=0,所以an+1-an-2=0.

于是数列{an}是首项为a1=3,公差d=2的等差数列,故an=a1+(n-1)d,从而an=3+(n-1)·2,即an=2n+1.

证法6(逆向思维迭代递推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

因为an+1=3an-4n

所以an=3an-1-4(n-1)

①-②,得an+1-an=3an-3an-1-4,

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2),

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2)=32(an-1-an-2-2)=33(an-2-an-3-2)=…=3n-1(a3-a2-2)=3n(a2-a1-2).

因为a2-a1-2=0,所以an+1-an-2=0.

于是数列{an}是首项为a1=3,公差d=2的等差数列,故an=a1+(n-1)d,从而an=3+(n-1)·2,即an=2n+1.

证法7 (逆向思维迭代递推法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

令bn=an-(2n+1),因为an+1=3an-4n,所以bn+1=3bn,从而bn+1=3bn=32bn-1=33bn-2=…=3n-1b2=3nb1.

所以b1=0,故bn=0,即an-(2n+1)=0,于是an=2n+1.

证法8(逆向思维待定系数法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

设an+1+k(n+1)+b=3an+(k-4)n+k+b,则

从而an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1),

所以an-2[(n-1)+1]-1=3[an-1-2(n-1)-1]

……

a4-2(3+1)-1=3(a3-2×3-1),

a3-2(2+1)-1=3(a2-2×2-1),

a2-2(1+1)-1=3(a1-2×1-1),

因为a1-2×1-1=0,所以an-2n-1=0,即an=2n+1.

证法9 (待定系数法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

将an+1=3an-4n两边同除3n+1,得

证法10 (迭加法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,证明如下:

将an+1=3an-4n两边同除3n+1,得

①-②,得

……

从而an=2n+1.

作为学生领路人的教师,一些前因后果需要我们教者从其背后去思考、挖掘,只有潜心研究高考试题,从中探究出更多潜在价值,才能在高中数学教学中高屋建瓴、有的放矢,才能确保对学生的指导方法得当、条理清楚、思路流畅.潜心研究高考试题,在寻求解法的同时,要领略考题的本质,挖掘其深刻的内涵,才能充分发挥考题的功能和作用.

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