陈一鑫 马天宇
勾股定理是初中几何中的重要定理之一,目前约有500种证明方法,由此我们可以看出勾股定理的魅力之大。据数学史料记载,我国周朝数学家商高提出“勾三、股四、弦五”,这说明我国在很早的时候就有人发现了勾股定理。而西方最早提出并证明勾股定理的是公元前6世纪的古希腊毕达哥拉斯学派,所以勾股定理在西方也被称为“毕达哥拉斯定理”。
古希腊数学家欧几里得曾在其著作《几何原本》中给出勾股定理的证明方法,该方法在“命题47”中呈现,我们一般称其为欧几里得证法。具体的证明過程同学们可以见教材第88页中的内容——“勾股定理的证明”。
在欧几里得证法中,我发现了几何中经常用到的两个数学模型,一个是“手拉手”模型,另一个是“平行等积”模型。
如图1,当AB=BF,BC=BD,并且它们的夹角∠ABF和∠CBD相等时,就能证得△ABD≌△FBC,这就是我们常用的“手拉手”模型。
如图2,当AB∥CD时,易得S△ABC=S△ABD,这就是 “平行等积”模型。我们在很多问题中会用到这个数学模型。进一步研究,我们发现,若AE∥BC,则四边形ABCE为平行四边形,则可证得S△ABD=S△ABC=[12]S□ABCE。
在欧几里得证法中,就用到了以上两个非常重要的数学模型。如果我们对这两个数学模型非常熟悉的话,那么再去理解欧几里得证法就很容易了。
教师点评
勾股定理的证法有很多种,对于初中生而言,简洁、优美并且有代表性的证法不是很多。欧几里得证法是非常有代表性,并且是很有思维训练价值的证法,但很多初中生感觉这种证法很难理解和掌握。两位同学正是基于这样的思考,从基本数学模型的视角分析欧几里得证法。我相信他们的解读会帮助同学们更好地理解和掌握欧几里得证法,并运用这两种数学模型解决更多的问题。
(指导教师:孙 凯)