等积
- 圆锥曲线上定点定值子弦性质的另证与应用
证明了斜率等和与等积子弦的相关性质.文章研究内容是近几年高考考查的热点问题,比如2020年新高考Ⅰ卷第22题,2022年新高考Ⅰ卷第21题,2022年全国高考理科乙卷第20题均涉及此类问题,这是广大考生感觉到非常困难的问题.文[2]提出平移齐次化方法是处理这类问题的一种非常有效的手段[2].本文将基于一般化的圆锥曲线形式,利用平移齐次化方法证明定点定值子弦的相关性质,结论形式更加统一,证明过程更加简洁.1 圆锥曲线上定点定值子弦的定义设点P是圆锥曲线上的一
数理化解题研究 2024年7期2024-04-12
- 圆中阴影图形面积的特殊解法举例
结合实例深入探究等积变换、割补拼接、图形变化三种特殊方法的构建思路，形成相应的解题策略.【关键词】 初中数学；圆；阴影面积圆中阴影图形面积问题十分常见，对于不规则图形问题需要采用特殊的解法，常用的有等积变换法、割补拼接法、图形变化法，下面结合实例具体探究.1 等积变换法等积变换，顾名思义对所求图形进行等面积变化，将其转化为规则图形面积或易求图形面积.利用等积变换求解不规则三角形面积时，可以充分利用同底等高模型，结合面积公式进行面积变换.可分两步进行：第
数理天地(初中版) 2024年1期2024-01-12
- 用平行线之间的等积变形计算图形的面积
应用平行线之间的等积变形，把题目由难变易、由繁变简，这是计算图形面积的一种重要的策略。例题1图2 中，小正方形的边长是7厘米，大正方形的边长是10厘米。阴影部分的面积是多少？图2把三角形ACH 分为三角形ABH 和三角形BCH 两部分。运用直线BE和直线CD的平行关系，把三角形BCH进行等积变形，将C拉动到D（如图3），你会发现三角形BCH与三角形BDH同底（HB为底）等高（CB＝DE），所以面积相等。求三角形ACH的面积可转化为求三角形ABD的面积。三角
数学小灵通·3-4年级 2023年11期2023-11-21
- 巧用等面积求解图形转化问题
“巧用平行线进行等积变换”选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。对于不易直接求得的四边形或者三角形的面积，赖老师根据“平行线间距离处处相等”进行图形的等面积转化，“不易求”即刻变成“直接求”.模型构建等積变换基本模型：如图1，AB[?]CD，3对面积分别相等的图形是：△ACD和△BCD，△CAB和△DAB，△ACE和△BDE.等积变换模型变式：1.如图2
初中生学习指导·提升版 2023年8期2023-09-12
- 例析等积法的解题技巧
实验学校 朱红艳等积法是等面积法的简称，等积法在初中平面几何类解题中应用十分广泛，例如著名的勾股定理的推导与证明，就是以面积公式及由面积公式推得的相关性质为基础的.运用等积法解题的关键是，对同一几何图形的面积采用不同的分解、计算方法，通过转换与推导得出面积关系式或者线段与角之间的关系式.下面通过典型例题来探讨并总结运用等积法解决相关问题的方法与技巧.1 运用等积关系求面积对于不能直接用公式计算的多边形面积类问题，通常是在准确理解题意的基础上，先画出示意图，
中学数学 2022年22期2022-12-27
- 挖掘学习深度促进思维跃迁
——拓展课《平行四边形的等积变形》教学设计
形还有很多，明白等积变形背后的道理，这个性质还可以推广到后续三角形、梯形甚至更多的平面图形面积中，实现从题教到类教。 因此从此题入手，整体考虑不同学生的认知基础，深度整合相关习题，尝试改一题为一课，从典型的长方形入手，逐渐将学生头脑中关于平面图形的认知有序联系，引导学生操作实证，多向思考，把握平行四边形等积变形本质。【教学目标】1.经历深度操作，画面积相同的平行四边形的过程，在独立思考中培养分析推理能力，在动手操作中感悟等积变形思想，发展空间想象力。2.推
小学教学设计(数学) 2022年11期2022-12-21
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-25
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-25
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-25
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学月刊 2022年8期2022-11-25
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-25
- 例析等积法的解题技巧
实验学校 朱红艳等积法是等面积法的简称，等积法在初中平面几何类解题中应用十分广泛，例如著名的勾股定理的推导与证明，就是以面积公式及由面积公式推得的相关性质为基础的.运用等积法解题的关键是，对同一几何图形的面积采用不同的分解、计算方法，通过转换与推导得出面积关系式或者线段与角之间的关系式.下面通过典型例题来探讨并总结运用等积法解决相关问题的方法与技巧.1 运用等积关系求面积对于不能直接用公式计算的多边形面积类问题，通常是在准确理解题意的基础上，先画出示意图，
中学数学杂志 2022年22期2022-11-22
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-08-19
- 基于“两个过程”的初中数学拓展性课程教学实践与思考
——以“怎样把弯路改直”为例
中执教．本节课以等积变形为主题，以平行线这一基本图形为前提，通过寻找和构造平行线以实现三角形的等积转化．平行线作为初中平面几何中的基本图形之一，主要表现为两个功能：一是迁移角，通过“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”进行不同角之间的互相转换，已呈现在基础性课程中；二是迁移面积，通过“平行线等积变形”求图形的面积，并未正式出现于基础性课程，这也是本节数学拓展课所要体现的．几何源于图形面积的测量，求图形的面积是平面几何中的基本问题之一．等积变形
中学数学杂志 2022年8期2022-08-19
- 等积变换在圆锥曲线中的应用
若能适时适地用上等积变换知识,可以将难求的图形面积转化为易求图形的面积,大大减少运算量,提高解题正确率.由于教学的侧重点和中考要求,等积变换知识在初中里有所提及,甚至也是考试的重点,但有些就比较偏,学生相对陌生.进入高中时衔接教学可能顾及不到,还有高中课程涉及平面几何教学内容较少,偶尔碰到也就题论题,不见得系统化,即使圆锥曲线中要用到,也不会专门组织教学.笔者发现这类涉及面积的题目若能用上等积变换知识,如虎添翼.现将基础知识作一介绍再选取各具特色的7 道例
中学数学研究(广东) 2022年9期2022-06-16
- 等积变形法VS割补法
说：“这道题就是等积变形的好例子。利用等积变形，可以让一些图形题变得很简单。例1已知图中大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。观察开始所求阴影部分是三角形，但这个三角形三条边的长度都不知道，也没有高的长度，不能直接求。常规思路如果用割补法解决的话，如右图，先补出一个大长方形。然后再从大长方形的面积里减去白色部分的面积。长方形面积=（4+6）×6=60（平方厘米）三角形①面积=（6-4）×4÷2=4（平方厘米）三角形②面积=（6+
数学大王·中高年级 2021年5期2021-05-12
- 理解等积变形的转化思想
杂图形，怎样利用等积变形将复杂问题变简单？教师可设计以下学习活动。一、情境中找方法出示“曹冲称象”的图片，请学生叙述操作要点。引导学生发现，借助水中的船，将无法分割的大象转化成同等质量的石头，启发学生将这一方法应用于数学问题的解决中。二、转化中寻策略1.利用底高关系进行转化。图1方法2：转化法。将两个小三角形进行等积变形，阴影部分转化为底是12cm、高是8cm 的大三角形。学生发现借助平行线“轨道”，可以将三角形作等底等高的等积变形，转化成已知底与高的三角
小学教学设计(数学) 2021年4期2021-05-06
- 巧借周期性,妙解数列题
么这个数列称为“等积数列”,其中常数k称为这个数列的公积．已知数列{an}是一个“等积数列”,且满足a1＝1,a2＝2,公积为8,则数列{an}前2021项和S2021的值为________．解析根据创新定义可知anan＋1an＋2＝k,则有an＋1an＋2an＋3＝k,两式对应作商,得1,即an＋3＝an,故数列{an}是以3为周期的数列,结合a1＝1,a2＝2,k＝8,可得a3＝4,所以S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(a1＋a2＋a3)
高中数理化 2020年24期2021-01-29
- 等积变形
上把这种变化叫作等积变形。例1：在一个底面半径是10厘米的圆柱形量杯中装有5厘米高的水，把一个石块浸没在水里，水面上升到8厘米，求石块的体积。思路分析：石块是不规则的，无法直接求出它的体积。但石块浸入水中后，上升的水的体积就是石块的体积，因此求石块的体积就是求上升的水的体积。解：3.14×102×（8-5）=942（立方厘米）答：石块的体积是942立方厘米。例2：把一块长19厘米，宽15厘米，高1厘米的长方体铁块和一个棱长是7厘米的正方体铁块，熔铸成一个底
小学生学习指导(高年级) 2020年4期2020-12-15
- 《绳法经》中的数学知识
方形，另一类则是等积的各种多边形，这需要运用到很多的几何作图知识，如直角、正方形、边长为整数的直角三角形、梯形等的作法;从面积为a的正方形出发，作面积为na的正方形;把直角三角形改为等积的正方形;等等，在这里，毕达哥拉斯定理得到了广泛的应用。《绳法经》中详细介绍了用线绳和竹杆拉出直角的方法，并用到很多的边长为正整数的直角三角形及其相似形，如边长为3.4.5;5.12.13;8.15.17;7.24.25;12.35.37;15.36.39等直角三角形，以及
语数外学习·高中版下旬 2020年6期2020-09-10
- 高考数学能力小题训练（8）
那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列｛an｝是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=6.直线ax+（2-a）y+2=0与x+ay+2a=0平行的充要条件为a∈7.执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，-12），则x 的值为（第7题）8.一个袋中装有匹个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编
新世纪智能(数学备考) 2020年6期2020-07-17
- 借助联想法 打开数学解题思路
,那么称该数列为等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列为等积数列，且a1=1，a2=2，则a1+a2+a3+…+a12的值为( ).A.16 B.17 C.18 D.19该题目为新定义题，很多学生遇到新定义题往往不知所措.事实上，解题时运用相似联想可柳暗花明.认真审题可知，题干创设的情景与等比数列较为类似，因此可联想已学过的等比数列通项公式的推导方法，寻找等积数列项与项之间的规律.∵anan+1=k①，则an-1an=k②.①/②得到an+1/an-1=
数理化解题研究 2020年18期2020-06-29
- 依靠学科内在力量，发展学生核心素养
——以“平行线背景下的等积变形”专题复习课为例
“平行线背景下的等积变形”专题复习课为例，谈谈课堂教学中如何发展学生的核心素养.一、问题驱动，引发学生发散思维，促进核心素养的形成问题是思维的起点，核心素养就是在复杂问题情境中解决问题的能力和品质，是个体在与情境的持续互动中，不断解决问题而形成的.情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径.问题1：如图1，点C为线段BE上一点，分别以BC、CE为边在BE的同一侧作正方形ABCD和正方形GCEF，连 接GA、GE、AE，且AE与CD交于点H.若正方形ABCD与
中学数学杂志 2019年22期2019-11-13
- 一道耐人寻味的面积问题*
．图4 图53 等积转化解法4如图5，过点B作BE∥AD交CD于点E，联结AE，则∠BEC=∠ADC=45°=∠BAC，从而点A,E,C,B共圆，可得∠AEB=∠ACB=90°，于是∠DAE=90°，即AE⊥AD且AE=AD.因为BE∥AD，所以S△ADE=S△ADB=6，即故评注作平行线实现△ADB面积的等积转化，意外获取等腰直角三角形解决问题，令人拍案叫绝．解法5如图6，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，联结AE，则∠DEC=∠CDE=45°， ∠AD
中学教研(数学) 2019年8期2019-08-19
- 《三角形面积练习课》教学实录
形中，主要围绕“等积变形”展开，利用平行线之间的距离处处相等，移动三角形的顶点，将一个面积较难计算的三角形转化成与之等底等高的面积非常容易计算的三角形，使面积计算的方法更加灵活、巧妙（详见下图）。整节课呈现了有主题、有变式的系列面积计算问题，引导学生在解决问题的实践中探索、生成灵活的方法，体会“转化”的数学思想，丰富和拓展对面积概念的理解。【教学过程】一、温故知新1．引入，布置任务。师：两个正方形一共有几个顶点？生：7 个。师：从7 个点中任意选3 个点依
小学教学设计(数学) 2019年6期2019-07-06
- 例谈新定义数列的解题
有没有等和数列，等积数列等等这样的新定义的数列呢？其实，在很多的数列题目中经常能遇到新定义的数列，它需要学生对知识进行迁移，利用对等差、等比数列的理解进行归纳，类比等，找出新定义的数列的核心来解题.下面就一些常见的新定义数列问题，谈谈此类问题的解法，以飨读者.一、等和数列例1 定义：把满足an+an-1=k(n≥2,k为常数)的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和.若等和数列{an}的首项为1，公和为3,则其前n项和Sn=____.评注等和数列的本质就是
数理化解题研究 2019年7期2019-03-27
- 一道习题引发的思考
——小学数学中“等积变换”问题摭谈
为地创造出一个“等积”的环境，将零散的阴影面积转化成一个整体，等积变换功不可没。可是等积变换如此神奇、重要，学生能应用的却是凤毛麟角，我们深知的“授人以鱼，不如授人以渔”此时此刻黯然失色，笔者不禁陷入深深的思索当中……二、追本溯源，融汇贯通回顾小学阶段所接触过的关于“等积变换”类型题目，从低年级所遇到过的数与代数领域中的求括号里的数，如4×5=（）×2，以及解决问题中“二年（1）班排队列，如果每队排10人，可以排4列，如果每队排8人，可以排多少列？”的这种
福建基础教育研究 2018年3期2018-04-03
- 想难倒我？没那么容易
是讲阿基米德利用等积代换的方式算出了金皇冠的真假。我灵机一动，想道：我是不是也可以用等积代换的方式来求杨桃的体积呢？于是，我去厨房拿来一个长方体的盒子，测量并计算出它的底面积是100cm2。我继续把尺子立在盒子旁边，往盒子里倒了10cm深的水，然后把杨桃完全浸没在水中。这时候，盒中的水上升了一部分。我又再次量了一下，现在的水是15cm深，也就是说，盒中的水上升的高度是：15-10=5（cm）按照等积代换的思想，上升的水的体积就是杨桃的体积，由此，可以算出杨
数学大王·趣味逻辑 2017年7期2017-08-05
- 从一道新的格点中考作图题的结构谈起
相等（以下统称“等积”），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空.如图1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．图1理由：连接AH，EH．因为AE为直径，所以∠AHE＝90°.所以∠HAE＋∠HEA＝90°．因为DH⊥AE，所以∠ADH＝∠EDH＝90°.所以∠HAD＋∠AHD＝90°.所以∠AHD＝∠HED.所以△ADH∽___
中国数学教育（初中版） 2016年10期2016-12-07
- 类比“等差数列”探究“等比数列”
还应有等和数列、等积数列、等比数列）教师：等差数列是指后项与前一项的差的运算，能否将差的运算替换为其它运算呢？请同学们思考，这样的数列是否存在，若存在，请举出具体的例子，5分钟后，学生l：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等和数列，这个常数称为公和，这种数列很简单，比如首项为l，公和为3的等和数列为：1，4，1，4，1，4，......它的通项公式及前n项和公式都比较简单，学生2：若一个数列从第二项起，每一项与前
福建中学数学 2016年3期2016-10-20
- 重组练习材料 提升思维品质
道题背后隐藏的“等积变形”思想是图形与几何领域的重要思想方法之一，也是初中学习几何证明时常用的方法。因此，我充分利用这道题，在材料重组方面下功夫，引导学生体会等积变形的思想方法，培养空间观念，达到提升思维品质的目的。一、经历分层探究的过程，拓宽思维的广度关注学生的学习基础与学习能力，创设简洁的情境，一题多变，促使学生在灵活运用三角形面积计算公式的基础上分层探究，在直观感受与动手操作中进一步理解“等底等高，面积相等”的含义，真正弄清知识的来龙去脉。【案例1】
江西教育B 2016年7期2016-10-17
- 授人以鱼，不如授人以渔
词]：等和数列 等积数列 构建主义作为一名任教多年的教师，我对自己的教学水平是有信心的，但是在教学中仍会出现令我感到困惑的问题：有的时候，明明在课前准备得很充分，备教材的重点、目标，备学生的学情，采用教具、多媒体等各种手段辅助教学，课堂上也设计了许多“套路”去启发、引导学生，可往往气氛不冷不热，教学效果不如人意。直到一次看似不经意的事件悄然来到我的面前，终于揭开了我的困惑。那天，上完等比数列的最后一个课时的内容，我正在小结知识点，准备结束数列这一章。忽然一
中国校外教育(下旬) 2016年2期2016-05-30
- y= k/x（k≠0）中k值几何意义的应用
邹新图1 一、与等积变形相结合运用k值的几何意义例1如图2，已知点A在反比例函数y＝k＞0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k＝.解析：连接AE、AO.如图2，∵点D为AC的中点，图2 ∴S△DEC＝S△DEA，S△DBC＝S△DBA，∴S△BEC＝S△BEA＝8.又∠ABC＝90O，∴AB∥y轴，由等底等高的三角形面积相等可得S△BEA＝S△BOA＝8＝|k|，∴k＝±16.又k＞0，∴k＝16
初中生天地 2016年33期2016-02-21
- 授人以鱼，不如授人以渔
——课堂的民主集中制
制”。等和数列 等积数列 构建主义作为一名任教多年的教师，我对自己的教学水平是有信心的，但是在教学中仍会出现令我感到困惑的问题：有的时候，明明在课前准备得很充分，备教材的重点、目标，备学生的学情，采用教具、多媒体等各种手段辅助教学，课堂上也设计了许多“套路”去启发、引导学生，可往往气氛不冷不热，教学效果不如人意。直到一次看似不经意的事件悄然来到我的面前，终于揭开了我的困惑。那天，上完等比数列的最后一个课时的内容，我正在小结知识点，准备结束数列这一章。忽然一
中国校外教育 2016年6期2016-02-15
- 运用面积与等积变换解题初探
周建玮面积与等积变换，主要是利用面积公式或等积变换求解或证明有关面积、面积比、面积恒等式，以及有关线段长、线段比等几何问题，是数学解题的重要方法，也是研究几何学的有力的工具，在平面几何问题中，虽然没有直接涉及面积，然而灵活运用面积与等积变换解决问题，往往会出奇制胜，事半功倍.一、若把给定的图形分成若干部分，则被分成的各部分面积之和等于给定图形的面积（一）等量关系的证明例1：求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线.解析：如图（1），连接
考试周刊 2015年9期2015-09-10
- 思维拓展棱锥体积计算话思想
法有：转换思想、等积变换思想、分割思想及补形思想.一、转换思想图1例1如图1所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都为a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B-B1DE的体积.分析本题有助于提高空间想象能力，棱锥B-B1DE的位置不利于计算，利用等底面积等高的锥体体积相等的定理把求该棱锥的体积转化为求其他棱锥的体积.解直三棱柱各棱长均为a，∴各侧面是正方形，D、E分别是AB1、CB1的中点，在△AB1C中，S△DB1E=14S△A
中学生理科应试 2014年11期2015-01-15
- 等量代换在几何比例证明中的应用
DBE得证.3 等积代换例3 如图3，已知AD是△ABC外接圆的直径，CF⊥AD交AD于E，交AB于F.求证：AC2=AB·AF.证明 连接CD、BD，因为AD是圆的直径，所以∠ACD=∠ABD=90°.因为CE⊥AD.所以AC2=AE·AD（射影定理） （1）.又在Rt△ABD和Rt△AEF中，因为θ为公用角，所以Rt△ABD∽Rt△AEF，所以ABAE=ADAF，所以AE·AD=AB·AF （2），故由等积代换，从（1）、（2）得AC2=AB·AF.注
中学数学杂志(初中版) 2014年3期2014-06-23
- 相似三角形等积式问题证明“三部曲”
国语学校 何小波等积式证明问题是初中平面几何的重要内容，它涉及的知识内容广泛，有利于培养学生综合运用知识的能力.等积问题综合性强，类型繁多，涉及面广，难度大，加之许多学生由于基础知识不牢，不善于归纳总结，结果在解决等积问题时不能灵活运用，感觉问题的分析困难，甚至是无从下手，望而生畏.为此，笔者总结提出了等积式问题证明的“三步曲”.所谓“三步曲”是指在证明等积问题时，首先考虑把等积问题化为等比问题，然后证明相关的三角形相似.其次，在无法证明三角形相似时，可用
中学数学杂志 2012年6期2012-08-28
- 相交圆内一类内接蝶形的等积性质
内一类内接蝶形的等积性质☉福建省大田第一中学 田富德 吴赛瑛笔者对相交圆内接蝶形进行探究时，得到了两个有趣的等积性质.为了陈述方便，先给出如下定义：定义 两圆相交，若一个圆的圆弧含于另一个圆内，则称此段圆弧为该圆的内弧；若一个圆的圆弧不含于另一个圆内，则称此段圆弧为 该圆的外弧.其中内 弧和外弧均不包含两圆交点.如图1所示为圆O2的内弧为圆O1的外弧.现以定理形式，将等积性质陈述如下：定理1 圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A的直线分别交圆O1与圆O2于
中学数学杂志 2012年1期2012-08-25
- 欧氏空间的等积变换的性质
学研究欧氏空间的等积变换的性质王朝霞，张 庆（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）首先给出了欧氏空间的等积变换的定义。其次给出4个引理并利用这些引理给出了有限维欧氏空间的两个线性变换为等积变换的充要条件，其中一个充要条件反应了两个等积变换在规范正交基下的矩阵关系，另一个充要条件反应了两个等积变换之间的关系。最后给出了无限维欧氏空间为等积变换的一个充要条件及等积变换的一个性质。欧氏空间；线性变换；等积变换；规范正交基1 引言在欧氏空间V
唐山师范学院学报 2012年5期2012-06-01
- 相交圆内接蝶形的等积性质
相交圆内接蝶形的等积性质366100 福建省大田第一中学 田富德 吴赛瑛笔者对相交圆内接蝶形进行探究时，得到了两个有趣的等积性质.为了陈述方便，先给出定义如下：定义 两圆相交，若一个圆的圆弧含于另一个圆内，则称此段圆弧为该圆的内弧;若一个圆的圆弧不含于另一个圆内，则称此段圆弧为该圆的外弧.其中内弧和外弧均不包含两圆交点.如图 1所示，为⊙O2的内弧，为⊙O1的外弧.定理1 ⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A的直线分别交⊙O1与⊙O2于F，E，过B的直线分
中学数学杂志 2011年24期2011-08-25