圆中阴影图形面积的特殊解法举例

陈瑶琼

【摘  要】  圆中阴影图形的面积求解时，需要分析问题类型，对于不规则无法直接求面积的情形可以采用不同的解法.本文结合实例深入探究等积变换、割补拼接、图形变化三种特殊方法的构建思路，形成相应的解题策略.

【关键词】  初中数学；圆；阴影面积

圆中阴影图形面积问题十分常见，对于不规则图形问题需要采用特殊的解法，常用的有等积变换法、割补拼接法、图形变化法，下面结合实例具体探究.

1  等积变换法

等积变换，顾名思义对所求图形进行等面积变化，将其转化为规则图形面积或易求图形面积.利用等积变换求解不规则三角形面积时，可以充分利用同底等高模型，结合面积公式进行面积变换.可分两步进行：第一步，确定三角形的底和高，结合模型进行同底等高模型转换；第二步，推导线段长，结合面积公式求面积.

例1  如图1所示，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为___________.

思路分析  本题目求圆中阴影的面积，阴影图形为三角形，无法直接利用面积公式求解，可以采用等积变换法，通过等面积转化求解.

过程详解  已知∠ACB=15°，则可推得∠AOB=30°.

又知OD∥AB，结合同底等高模型可知S△ABD=S△ABO，

所以S阴影=S扇形AOB=，

即图中阴影面积为.

总结提升  上述求解圆中阴影部分的面积时采用了等积变换法，即借助同底等高模型进行面积转化.问题求解涉及了圆周角定理、扇形面积公式等知识，解题的关键是确定三角形的底和高、结合模型进行等积转化，另外还可以利用等底等高模型转换.

2  割补拼接法

割补拼接法也可求解圆中阴影的面积，适用于不规则图形的面积问题中，基本思路是通过图形分割、拼接，将不规则的多边形或有圆弧的图形转化为规则图形的面积组合.求解时可分为三步：第一步，探究阴影图形的条件，确定分割思路；第二步，做辅助线或借助图中线段，对阴影图形进行分割；第三步，结合图形面积公式，逐一求解面积.

例2  如图2（a）所示，在扇形CBA中，∠ACB=90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D.如果阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为___________.

思路分析  上述設定阴影面积，求其周长，可以归为与面积周长相关的几何问题.求解时可以采用面积割补拼接法，将阴影部分面积转化为规则图形的面积，结合面积公式分别构建模型，列方程求解线段长，最后利用周长公式求解.

过程详解  设BC的中点为O，连接OD，连接CD，如图2（b）所示.

因为以BC为直径作半圆，交AB于点D，

所以CD⊥AB.

因为AC=BC，∠ACB=90°，

则AD=BD，CD=AB，

可推得CD=BD，

所以弧CD=弧BD.

又知AD=BD，CO=BO，则OD∥AC，

所以∠BOD＝90°.

设AC=BC=m，

则AB=，CD=AD=BD=，

因为阴影部分的面积为（π﹣1），

则S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=，

整理可得，

可解得m=2，

所以AC=BC=2，AB=，OC=OB=1，

则弧AB的长为，

弧BD的长为，

阴影部分的周长为：

总结提升  上述为与圆中阴影面积相关的周长问题，面积条件解析时采用了割补拼接方法，将不规则图形面积转化为规则图形的面积组合，进而求解线段条件.利用割补拼接解题时需注意两点：一是避免分割过于分散；二是割补过程确保等积.

3  图形变化法

利用图形变化法求解圆中阴影面积，即通过旋转、平移、翻折的方式进行等积转换.图形变化时需要立足定义，关注变换过程，等积变换.可分两步进行：第一步，确定图形变化方法；第二步，进行等积变换，求解图形面积.

例3  如图3所示，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为___________.（结果保留π）

思路分析  本题目求圆中阴影部分的面积，该图形涉及圆弧，无法直接求出，可以结合图形变化法中的旋转，进行旋转拼接，再求解.

过程详解  连接BD，EF，如图3中的虚线所示，

因为正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，根据题意可知EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB.

因为点E，F分别为BC，AD的中点，

则FD=FO=EO=EB=2，

可得弧OB=弧OD，OB=OD，

所以弓形OB=弓形OD，则阴影部分的面积等于弓形BD的面积，

从而可得S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=，

即图中阴影部分的面积为.

总结提升  上述求解与圆弧相关的阴影面积时采用了图形旋转变化的方法，即分割图形，通过旋转变化将其拼接成弓形，后续再结合面积割补求图形面积.图形变化法求解图形，其核心知识是旋转、平移、翻折的几何特性，即图形的线段、面积、形状不变，仅面积发生了变化.

4  结语

总之，求解圆中阴影图形的面积方法众多，上述举例探究的是其中较为特殊且常用的三种，三种解法的核心思想是等面积转化、数形结合建模.探究解析时要关注三点：一是归纳问题类型，总结对应方法；二是结合实例探索应用，构建解析思路；三是合理变式问题，拓展解题思路.