依靠学科内在力量，发展学生核心素养——以“平行线背景下的等积变形”专题复习课为例

江苏省无锡市蠡园中学 周进荣

江南大学附属中学 韩卫华

党的十八大提出“教育的根本任务在于立德树人”，这也是当下教育改革的核心任务.2014年教育部印发了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，其中多次提到发展学生的核心素养.《21世纪学生核心素养研究》一书中指出：“学生核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展需要的必备品格和关键能力.”作为数学教育的实践者，落实数学学科“立德育人”的目标，首先应该体现在数学学科核心素养的培育上.数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.在日常教学中，如何把数学学科核心素养的培育落实在数学教学的各个环节中？笔者认为，数学是思维的科学，数学教学是思维的教学.“数学育人”要依靠学科的内在力量，要在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥数学学科独特的、别的学科不能替代的育人功能.下面以“平行线背景下的等积变形”专题复习课为例，谈谈课堂教学中如何发展学生的核心素养.

一、问题驱动，引发学生发散思维，促进核心素养的形成

问题是思维的起点，核心素养就是在复杂问题情境中解决问题的能力和品质，是个体在与情境的持续互动中，不断解决问题而形成的.情境化是数学知识转化为数学素养的重要途径.

问题1：如图1，点C为线段BE上一点，分别以BC、CE为边在BE的同一侧作正方形ABCD和正方形GCEF，连 接GA、GE、AE，且AE与CD交于点H.若正方形ABCD与正方形GCEF的边长分别为a、b，求△GAE的面积.

图1

生1：我用“补”的方法，如图1，S△GAE=S正方形ABCD＋S正方形GCEF-

生2：还可以用“割”的方法，如图1，沿着GH所在的直线将△GAE 分割成△GAH 和△GEH.由，所以b，所以所以

师：还有其他方法吗？

众生摇头示意没有.

师：你还能得到什么启发？

生3：S△GAE=S△GCE.

师：能证明吗？

生3：如图2，连接AC.因为AC、GE是正方形的对角线，所以AC∥GE，根据同底等高的两个三角形的面积相等，有

图2

师：你好厉害！想到了平行线，利用“平行线之间的距离处处相等”，将△GAE的面积转化成△GEC的面积，我们把这种方法称为平行线的“等积变形”.在本题的解法中，我们分别用了“割、补、等积变形”的方法，你认为哪种更简单？

生4：“等积变形”更简单.利用平行线等积变形，可以将一个三角形转化成与它本身面积相等、形状不相同的三角形.

师：非常棒！利用平行线等积变形，思路灵活，方法巧妙，学好它能够帮我们巧妙解决问题.

教学意图：在问题情境设置上，执教教师巧妙设置了求三角形面积的开放性问题，充分调动了学生的求知欲，引发学生发散思维，教学中采用一题多解的形式，通过对三角形面积求解的三种不同方法的比较，自然引出平行线等积变形的定义，让学生体会平行线等积变形的优越性，着力培养了学生的直观想象、数据分析和数学运算素养.

二、变式训练，激发学生创新思维，促进核心素养的形成

数学学科独特的育人功能主要在培养学生的创新思维上.变式训练有助于学生拓宽视野、加深对概念和技能的理解，帮助学生多角度认识问题，激励学生创新、探究能力的发展，使学生学会思考，有逻辑地思考，创造性地思考，让学生成为善于发现问题、提出问题，善于分析问题、解决问题的人.

变式1：如图3，如果将“正方形ABCD和正方形GCEF”改为“两个相似的菱形ABCD和菱形GCEF”，其余的条件不变，则

图3

图4

生5：如图4，连接AC，因为菱形ABCD相似于菱形GCEF，根据相似多边形的性质，得∠BCD=∠CEF，从而得到∠BCA=∠CEG，故AC∥GE，S△GAE=S△GCE=

变式2：你还能将“两个正方形”改为什么图形，使结论仍然成立？

生6：如图5，可以改为“两个相似的矩形ABCD和矩形GCEF”，根据变式1的经验，只要条件“AC∥GE”保持不变（如图6），则结论“S△GAE=S矩形GCEF”成立，于是我想到了两个相似的矩形，即矩形ABCD和矩形GCEF.

图5

图6

生7：同样，还可以将“两个正方形”改为“两个相似的平行四边形”.

师：非常棒！利用平行线等积变形，关键是能够构造出平行线.

三、动手操作，发展学生形象思维，促进核心素养的形成

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“动手实践、自主探究、合作交流是学生学数学的主要方式，有效的数学学习方式不能单纯地依靠模仿与记忆.”重视动手操作能力，是发展学生思维、培养学生数学能力最有效的途径.动手操作能让学生从形象思维有效过渡到抽象逻辑思维上.

问题2：如图7，已知网格中小正方形的边长为1，求△ABC的面积.

图7

图8

生8：除了能用“割”“补”求出△ABC的面积，还可以运用等积变形求△ABC的面积.可以先“固定”AC，过点B作DF∥AC，变△ABC的面积为△AFC的面积（如图8），也可变为△ADC的面积（如图9），所以S△ABC=5.

图9

图10

师：这种方法比“割”和“补”的方法快多了，如图8，这条直线上还有格点E，为什么不选择它？

生9：那是因为△AEC的面积与△ABC的面积一样，不容易计算.

师：所以同样在平行线上，要选择合适的点.

生10：老师，还可以“固定”BC，如图10，过点A作AD∥BC，变△ABC的面积为△DBC的面积.

师：非常棒！选择不同的底边，我们又得到一个方法，如果网格再大一点，我们还可以“固定”AB，过点C作AB的平行线.

但是随着我国工业化、城镇化进程的加快，人增地减水缺的矛盾日益突出，农田水利建设滞后的问题尤为凸显，农田水利基础薄弱、资金投入不足、建设管理体制机制有待改革、法制建设亟待加强的情况还是比较突出的。审议中委员们还就改革创新农田水利发展体制机制、加大财政投入的力度、完善管理服务体系、加强节约用水和水土保持工作等提出了许多中肯的意见和建议。

师：同学们，关于等积变形，我们有什么经验呢？

生11：利用平行线等积变形，往往能够使三角形改“邪”归“正”！

生12：“等积变形”应先固定一条边作为底边，若这条底边有平行线，可以将原三角形转化，这样往往能直接求出三角形的面积.

生13：在平行线上要选择合适的点进行等积变形，如果点选得不好，等积变形也没用……

教学意图：“割”“补”法是求图形面积最为常见、有效的方法之一，但有时利用等积变形求面积更简单.问题2 引导学生突破常规，分别“固定”三角形不同的边，再利用网格中的平行线进行三角形的等积变形，变形后面积计算一目了然.同时，每一个数学经验的获得，没有强加于学生，而是在学生动手操作过程中自然生长出来的，这样的经验最具有生命力.教师在教学中适当地让学生动手操作，能够使抽象的数学知识变得更为直观、易懂，有力培养了学生的几何直观和逻辑推理素养.

四、关注过程，发展学生抽象思维，促进核心素养的形成

核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的.数学教学要从数学知识发生、发展过程的合理性，以及学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点.

问题3：如图11，已知点A（-2，1）、B（4，-2）、C（1，2），坐标轴上是否存在点D，使S△ABC=S△ABD？如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.

图11

图12

生14：如图12，“固定”AB，过点C作AB的平行线，分别交x轴、y轴于点D1、D2，变△ABC为△ABD1或△ABD2.

师：如何求点D1、D2的坐标？

生15：由A（-2，1）、B（4，-2）两点，求出AB所在直线的方程为x.因为D1D2∥AB，所以设直线D1D2的方程为x＋b，再将点C（1，2）的坐标代入x＋b中，得，则直线D1D2的方程为，故点D1

师：这样的点还有吗？

生16：还有！作点C关于AB的对称点C′，过点C′作AB的平行线，分别交x轴、y轴于点D3、D4，变△ABC为△ABD3或△ABD4，可求得点D3（-5，0）

教学意图：问题3是在问题1和问题2的基础上“生长”出来的一道难度较大的综合题，有了解决问题1和问题2的经验，学生很容易想到利用平行线等积变形.于是“固定”AB，过点C作AB的平行线，分别交x轴、y轴于点D1、D2，变△ABC为△ABD1或△ABD2.由对称性，在x轴、y轴的负半轴上也有符合题意的两个点.章建跃博士曾指出：“数学学习有三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.”教师要学会“示以学生思维之道”的方法，要让学生在自己独立面对问题时“想得到”“做得到”.这需要教师在平时的教学中，关注知识的发展过程，加强抽象思维训练，着力发展学生的数学运算和数学抽象素养.

以上仅从一节课的几个环节来培养学生的核心素养，其实培养核心素养的途径还有很多，需要在日常教学中潜移默化、逐渐渗透.但不管怎样，落实数学学科核心素养，要着重培养学生的思维特别是逻辑思维，使学生学会思考，特别是学会“有逻辑”地思考.让学生成为善于认识问题、解决问题的人，着力培养学生的科学精神，学会学习和实践创新.