借助模型寻思路，关联知识觅解法——以一道几何题的解决为例

浙江省三门县三门初级中学 丁坚锋

在中考前的一段时间，毕业班的教师忙着选题、做题、研题，不亦乐乎.其间，有几位教师与我交流了一道题的解法，得知这道题的得分率很低，这引起了笔者对这道题一探究竟的兴趣.

一、试题呈现

图1

图2

二、解法探究

1.代数法：借助函数模型，关联方程知识

求最值是函数问题中最常见的一类问题，从几何图形中找出数量关系，建立一个函数模型去求BD的最大值，便成了很自然的想法，于是笔者进行了尝试.

分析：如图2，分别作AE⊥BC 于点E，DF⊥BC 交BC 的延长线于点F.

设AE=a，DF=b.

由BE2+AE2=AB2，得，化简得a2+b2=

由BD2=（BC+CF）2+DF2，得（a+b）+1.此时，只需求出a+b的最大值即可.

图3

不妨设a+b=m，消去a（消去b也行），得a=m-b.代入中，得m2+2=0.由Δ≥0，得0.画出y=的图像，如图3，计算出图像与横轴的交点的坐标，结合图像可知，m的最大值为，此时.至此，问题得到解决.

反思：此法通过数形结合，将几何问题转化为代数问题，借助函数性质去求最大值，这一过程对学生分析图形中的数量关系提出了较高的要求.同时，需要有较强的综合运用知识的能力，才能顺利解决问题.学生较少接触含两个字母的二次式，对他们而言，首先想到的是解方程，而不会考虑用根的判别式.学生不易理解看成关于b的方程和关于m的方程的区别，如果从解方程的角度来看，这两者是一样的，因为根的表达式是方程的另一种表现形式.我们知道，当m变化时，会影响到b是否有实数根，所以，把方程看成关于b的方程，从方程有解还是无解方面去考虑，利用根的判别式求m的取值范围.

不过，一元二次不等式在初中阶段不做学习要求，通过建立二次函数，借助函数图像去解二次不等式，对初中生来说难度过大.

2.几何法：借助基本图形，关联图形变换

用变换的方法将数量关系进行转化，聚集分散的条件到一个三角形或基本图形中，从而解决问题，是解决一类几何最值问题的基本思路.

解法1：利用全等变换解决问题.

分析：如图4，将△BCD绕点C逆时针旋转90°，得到△ACE，即构造出一对全等三角形：△ACE与△DCB，利用全等性质，将已知条件分别进行转移，把问题转化到△ABE中进行解决.过点C作CE⊥BC，且CE=BC，连接BE、AE，所以易知所以BD=AE.AE的最大值等于AB+BE，所以BD的最大值为

图4

解法2：利用相似变换解决问题.

分析：如图5，将△ACD做相似变换，得到△AEB，将问题转化到△BCE中进行解决.以AB为斜边，作Rt△AEB，AE=BE，连接CE.易知BE=.因为且∠EAC=∠BAD，所以，所以BD=的最大值等于BE+BC，所以BD的最大值等于

图5

反思：一般地，数学问题的解决是经过一系列的转化来完成的，图形的变换则能将几何问题中的已知条件在图形的位置上进行转移，在数量关系上进行转化，所以，图形的变换思想在转化过程中起到极大的作用.初中的图形变换主要有全等变换（平移、轴对称和旋转）和相似变换.学习经验告诉我们，当图形中有两条共顶点的等线段时，一般可以构造全等三角形（有些教师称之为“手拉手”模型），学生对于添辅助线构造全等三角形的方法较为熟悉，而对构造“手拉手”型的相似三角形却较为陌生.事实上，这与我们在教学过程中有没有对一个基本图形进行深入探究和类比学习有极大的关系，如图6，△ABC和△CDE都是等边三角形，我们既要引导学生对图中的结论进行探究，又要从图形的变换角度提炼数学思想方法.图7则是图6一般化的结果，对此，可从类比学习角度进行图形关系的探究，从而使学生形成构造“手拉手”型相似三角形的意识，培养图形关联的意识.

图6

图7

从笔者与其他教师的交流中发现，解决这个问题最困惑的地方在于要用到什么知识，添什么样的辅助线.思路受阻的原因是解题者在进行问题表征的过程中无法有效地与相关知识和解题模型联系起来，如：求最大值的模型、添辅助线构造相似图形的模型.在问题表征过程中能做到积极有效地关联知识，这与解题者的活动经验有直接关系，活动经验的获得又与其学习活动分不开，特别是参与探究图形结论的过程性学习.

在教学过程中，告诉学生一些“基本图形”的结论是不够的，更重要的是关注发现结论的过程和深层次的学习内容（数学方法的总结和数学思想的凝练）.

三、将问题一般化，发现共性见本质

将上述问题进行一般化处理，即得到如下的问题：如图8，在四边形ABCD中，AB=m，BC=n，CD∶AC∶AD=a∶b∶c，则BD的最大值为______.

分析：构造∠BAO=∠CAD，所以∠BAC，所以，所以.如图9，当B、O、D三点共线时（点O在点B、D之间），BD的值最大，BD最大=

图8

图9

反思：把具体的数据换成字母，特殊的位置关系退化成一般情形，去探究一般化的结论，是从一题多解走向多解归一的有效途经，是发现图形性质的有效方法.用相似变换转化关系是解决这类问题的一般方法.

我们从图9中可以看出，当BD的值最大时，A、B、C、D四点共圆，凸显了数学的奇异之美，在答案的结构上也显现出对称之美.这不禁让人联想到托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积；托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当A、B、C、D四点共圆时取等号.可见，对于这个问题，可利用托勒密定理的推论来求BD的最大值，设CD=ak，AC=bk，AD=ck，代入AC·BD≤AB·CD+AD·BC便可求得结果.

事实上，托勒密定理及其推论也是通过构造“手拉手”型相似三角形得以证明的.

四、体会：发挥“解题模型”在解题中的积极作用——知识的关联与思维的启发

“解题模型”是指教师在解题教学中发现并总结出的一些结论性认识.具体指一些一般化程度较高的结论或图形（或称之为“基本图形”），如“手拉手”“一线三等角”等模型.它的主要作用在于联想“原型”，启迪解题方向，缩减思维长度.从广义上看，数学教材中的定义、法则、公式、原理、性质、定理等也是数学“解题模型”.

“解题模型”是学生在数学解题中开展联想的原型，如果学生看到相应的问题能建立联想，就能顺利地找到解题思路.

比如问题：如图10，在△ABC 中，AB=BC=AC，AD=3，CD=4，BD=5，求∠ADC的度数.

这是学习全等三角形知识后出现的一道典型的习题，我们把此题与文章开头的问题（图1）做一下对比，不难发现，它们在已知条件的特征和相关线段的位置关系上都极为相似，解决问题的方法都用到了图6的结论.在学生的学习过程中，这三个问题（图形）的出现顺序应该是：图6—图10—图1，难度逐级上升，应用图6解决其他两个问题，不仅是结论的应用，更是一种数学思想和方法的体现.在解决图10所示的问题时，若能及时给予学生从分析已知寻找可关联的知识、从分析图形特征寻找可关联的基本图形这两方面的启发，就能使学生获得有益的解题经验，解决图1所示的问题便会顺利很多.

图10

解题是一个复杂的思维活动，数学解题模型作为重要的解题元素往往能够帮助学生形成良好的解题直觉，启迪解题方向.按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方法和结论，从而解决现有的问题.这反映出数学解题模型能使解题者在分析问题时产生活跃的联想，诱发知识关联，进而催化假设、类比、迁移、转化，问题也会顺利解决.