“变量与函数”的教学设计

四川省内江市翔龙中学 李 超

数学新课程的教学理念认为，数学教学是学生对数学知识的“意义建构”的过程.因此，数学教学应从学生已有的生活经验（情境）出发，精心设计教学问题，学生通过对数学问题的思考、探究、小组讨论（争论）、表征、解决等过程，逐步形成对数学知识的“意义建构”，在教学活动中真正获得数学“双基”、感悟数学思想、积累数学活动经验.这样的数学教学的设计，充分运用了数学教学设计理论中的“情境性”“生活化”“问题性”“意义建构”等理念.本文依据这些教学理念，对“变量与函数”做了教学设计.

一、“变量与函数”的教材分析

1.地位和作用

“变量与函数”是义务教育课程标准华东师大版数学教材八年级下册第十七章“函数及其图像”的第一节课，是函数概念课.函数概念是中学数学重要概念之一，是研究现实世界变化规律的一个重要模型.本节课是在学生已经掌握的常量数学的基础上，思考变量及变量之间的关系，让学生初步感受函数，为学习函数性质打下基础.

2.教学重点

（1）通过生活实例，分析变量和变量的关系.

（2）理解函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否是函数关系.

3.教学难点

（1）从具体实例中抽象概括函数概念，理解函数概念.

（2）初步理解函数概念的内涵，体会函数是研究变化与对应的重要数学模型.

二、教学目标

知识与技能目标：了解常量与变量的意义和函数的概念，会举出与函数有关的实例，并会判断两个变量之间的关系是否是函数关系.

过程与方法目标：让学生经历由实例得到函数概念的过程，通过观察发现事物的共同属性，进而抓住其本质特征进行提炼概括来建构函数概念.

情感、态度与价值观目标：（1）通过合作学习让学生经历从“具体—抽象”到“抽象—具体”的函数概念形成过程，培养学生的抽象概括能力和合情推理能力；

（2）让学生体会数学与生活的紧密联系，会用数学的眼光看世界，提高学习兴趣，增强应用数学的意识.

三、学情分析

初二是学生智力和心理发展的关键阶段，也是学生易厌学的敏感时期，学生的逻辑思维从经验型逐步向理论型发展.本节课是学生首次接触函数，而函数概念对学生来说很抽象，他们不容易理解和掌握概念的本质.但是学生已经具备了列代数式、求代数式的值、解决简单的方程和不等式的能力，也积累了一些在具体问题情境中寻找数量关系的经验，这对本课学习是有利的.为了让学生尽快、有效地掌握函数概念，基于课题研究，本节课从学生思维的最近发展区出发设计一系列问题，让学生参与活动，开展教学.

由于本课函数概念比较抽象，处理不好，学生极易滋生厌学情绪，因而本设计大胆对教材内容进行了改动、加工与整合，依据教学设计的“情境性”“生活化”“意义建构”等理念，对“变量与函数”做了教学设计.

四、教法与学法分析

1.教法分析

利用多媒体教学平台增大教学容量，遵循认知规律，从生活实例出发，让学生在具体情境中充分感悟、体验两个变量之间的关系，并在此基础上自主构建函数概念.

2.学法分析

在学生独立思考、充分感悟的基础上，采用合作学习的方式，让学生经历在函数概念形成过程中开展思考、探究、讨论、分享、评价等教学活动.

五、教学过程设计

1.情境引入

活动1：通过让学生听音频成语故事《乌鸦喝水》，想象乌鸦喝水前后瓶子里水位的变化及变化的原因，从而发现一个量（石头的量）的变化决定另一个量（水位）的变化，从实际情境中感受变量，避开抽象的被动说教.

活动2：观看加油站加油视频：加油机加油时显示屏上的数字变化，通过观察视频，可直接发现视频中不变的数据（油的单价）和变化的数据（油量和油费），以及这三者之间的关系.

设计意图：活动1的故事情节学生熟悉，且具有趣味性，可以调动学生的积极性，营造良好的氛围，打破了外界给予学生的对函数的恐惧和茫然感，体会数学来源于生活并服务于生活；故事内涵体现了函数的本质：瓶中水位随着石头量的变化而变化.由于很多学生暂时还只看到故事的表象，不能渗透到函数层面，因此，设计中又加入了活动2，加油机屏幕上两个数据变化的视频，将油量和加油费之间的变化关系直观地展现在学生面前，从而让学生体会用数据描绘函数.上述两个情境的使用，在得出常量和变量的基础上，也润物无声地渗透了函数的变化情况，从而自然地过渡到新课讲解环节.

2.新课讲解

活动3：活动升华.

再次观察加油视频，完成下列问题：

（1）加6升、10升、20升和30升油时，应付油费各多少元？

（2）试写出视频中三个量之间的关系.

（3）在加油过程中，根据不同的油量和对应的油费列一个可以表示它们变化关系的表格，并结合视频和表格说出油费随油量的增加而发生怎样的变化.

从视频中我们可以看出，随着油量的变化，相应的油费也随之变化.

设计意图：问题（1）～（3），都是学生熟悉的知识，安排这三个实际问题，旨在让学生通过直观感知，领悟相关概念的意义.对于问题（1），因油费随着油量的变化而变化，因此确定油量便能确定此时的油费，体现了函数的对应思想.对于问题（2），学生通过观察视频中各数据的变化，直观感受函数值随自变量的变化而变化，从变化趋势感受函数的单调性，对于函数的这些性质，教学时可暂时不指明，只是引导学生感受，稍加渗透即可.

问题1：（1）若路程为1500千米，则汽车行驶的速度v（千米/时）与行驶的时间t（时）的关系是__________.

（2）汽车速度为85千米/时，则行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（时）之间的关系是__________.

（3）汽车行驶的时间为5小时，则行驶的路程S（千米）与速度v（千米/时）之间的关系为__________.

设计意图：在活动的基础上加上问题1，旨在让学生感受在相同情境中，不变的量和变化的量的相对性，并能灵活地表达两个变量之间的关系，从而归纳总结出常量和变量的概念.

问题2：华东师大版教材“变量与函数——问题1”.

看图回答：

图1

（1）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

（2）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

问题3：某店卖米，数量x（千克）与总价y（元）之间的关系如表1：

表1

总价y与数量x之间的关系是__________.

设计意图：通过问题2、问题3，借助图像和表格感受两个变量之间的关系，使学生明白：不管是生活情境中（现在）不能表达的，还是能表达的两个变量的关系，我们都发现其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，更确切地说，就是一个变量取得某一个值，另一个变量都有唯一的值与之对应，从而形成对函数的认识.

3.归纳概括

（1）常量和变量的概念.

在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量.在某一变化过程中可以取不同数值的量叫作变量.

（2）函数的概念.

函数的概念：如果在—个变化过程中，有两个变量，假设为x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

活动4：学生举生活中具有函数关系的例子.

活动目的：（1）检查学生对函数的理解；（2）发现学生理解概念时出现的问题，从而及时引导学生更规范、更深刻地理解函数概念.

对于函数概念的理解，注意以下几个方面：

在变化过程中一定是两个变量，而不是多个变量.两个变量中，一个为自变量，一个为因变量，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应.假如y有两个或多个值与它对应，则y就不是x的函数.例如y＝x2是y关于x的函数，而y2＝x，y就不是x的函数.或者从图像角度能直接看出因变量随着自变量的变化而只有一种变化而不是同时有多种变化.注意自变量的取值范围，或者是使函数表达式有意义，或者满足情境中的生活实际需要，如问题1.（1）问中的时间就必须取正数.

说明：对于学生发现、概括的概念，教师应当规范他们的语言，强调关键点和易错点.

（3）表示函数的方法.

①解析法，如问题1中所列出的表达式；

②图像法，如问题2中气温与时间的曲线图.

③列表法，如问题3中米的总价与数量的关系表.

4.强化与巩固

（1）例题讲解.

例1①一支蜡烛长35厘米，其燃烧速度为v厘米/分，燃烧时间为t分，则v与t的函数关系式是_________.其中，常量是__________，变量是__________.

②等腰三角形周长为22，则底长y和腰长x之间的函数关系式为_________，其中x的取值范围是__________.

例2指出下列关系式哪些是y关于x的函数，并说明为什么.

（2）课堂练习.

课本第30页练习的第1、2、3题.

设计意图：通过学生举出有函数关系的实例，感受现实情境中函数的运用；第2题问题①要求学生运用统计知识，从统计数据观察身高随年龄的变化情况，感受函数的无处不在.而对于第3题，除巩固学生已学知识外，要求他们写出自变量的取值范围，就要求学生在原有的基础上理解问题情境的意义，注意函数的实际背景对自变量取值范围的限制.

5.课堂小结.

由学生分小组总结，相互补充.

设计意图：通过学生自己总结，强化本节课所学概念（常量、变量、函数）；确定自变量的取值范围的问题是一个难点，可在下一节课再做强化.

6.作业

课本第33页习题17.1第1、2题.

六、教学反思

“变量与函数”的概念教学是由常量教学引入变量教学，是学生数学认知的一个升级.根据学生的认知基础，创设与生活实际紧密联系的情境，使学生从中认识常量与变量，体会变量之间的变化规律.从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性.遵循以教师为主导、学生为主体的教学原则，整节课面向全体学生，但学生的个体差异是存在的，在教学中不能一概而论.合作交流能很好地弥补学生差异，实现每个学生得到不同的、最好的发展.在小组合作交流的时候，应加强指导，真正让每个学生都参与其中，真正体验到学习的快乐和获得心智的发展.

学生对函数概念的理解还不是很透彻，需要进一步加强这方面的练习和指导.