相交圆内接蝶形的等积性质

366100 福建省大田第一中学 田富德 吴赛瑛

相交圆内接蝶形的等积性质

366100 福建省大田第一中学 田富德 吴赛瑛

笔者对相交圆内接蝶形进行探究时，得到了两个有趣的等积性质.

为了陈述方便，先给出定义如下：

定义 两圆相交，若一个圆的圆弧含于另一个圆内，则称此段圆弧为该圆的内弧;若一个圆的圆弧不含于另一个圆内，则称此段圆弧为该圆的外弧.其中内弧和外弧均不包含两圆交点.如图 1所示，为⊙O2的内弧，为⊙O1的外弧.

定理1 ⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A的直线分别交⊙O1与⊙O2于F，E，过B的直线分别交⊙O1与⊙O2于D，C，若线段CD和线段 EF不相交，CF交DE于 M，则 S△CDM=S△EFM.

证明 易知C，D至多一点在内弧，E，F至多一点在内弧.

(1)若 C，D，E，F 均在外弧上，如图 1所示，连接CE，AB，DF，

因为 A，B，D，F 四点均在⊙O1上，

所以∠AFD=∠ABC.

因为 A，B，C，E 四点均在⊙O2上，

图1

(2)若 C，F 在内弧上，D，E在外弧上，如图2所示，

连接 AB，DF，CE，

因为 A，D，B，F 四点均在⊙O1上，

图2

(3)若 D，F在内弧上，C，E在外弧上，如图3所示，

连接 AB，DF，CE，

因为 A，B，F，D 四点均在⊙O1上，

所以∠BDF=∠BAF.

因为 A，B，E，C 四点均在⊙O2上，

(4)若F在内弧上，C，D，E在外弧上，如图4所示，

图3

若 C，D，E，F 其中一点在内弧，另三点在外弧，同上可证 S△CDM=S△EFM.

综上，定理1得证.

定理2 ⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A的直线分别交⊙O1与⊙O2于F，E，过B

的直线分别交⊙O1与⊙O2于D，C，若线段CD和线段EF 相交于 M，连接 CF，DE，则 S△CFM=S△EDM.

证明 易知C，D至多一点在内弧，E，F至多一点在内弧.

图4

(1)若 C，D，E，F 均在外弧上，如图5所示，

连接 AB，CE，DF，AC，BE，

因为 A，B，D，F 四点均在⊙O1上，

所以∠AFD=∠ABC.

因为 A，B，E，C 四点均在⊙O2上，

所以∠CAE=∠CBE及∠ABE+∠ACE=180°.

(2)若D，F在内弧上，C，E在外弧上，如图6所示，

连接 AB，DF，CE，AC，BE，

图5

若C，E在内弧上，D，F在外弧上，

同上可证 S△CFM=S△EDM.

若C，F在内弧上，D，E在外弧上，线段CD和线段EF不相交，与条件矛盾.

若D，E在内弧上，C，F在外弧上，线段CD和线段EF也不相交，与条件矛盾.

图6

(3)若 F在内弧上，C，D，E在外弧上，如图7所示，

连接 AB，DF，CE，

因为 A，F，B，D 四点均在⊙O1上，

所以∠BAF=∠BDF.

因为 A，B，E，C 四点均在⊙O2上，

若C，D，E，F其中一点在内弧，另三点在外弧，同上可证 S△CFM=S△EDM.

综上，定理2得证.

图7

20110922)