巧用等面积求解图形转化问题

卢宗凯

抚顺市第十五中学赖涛老师的直播课“巧用平行线进行等积变换”选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。

对于不易直接求得的四边形或者三角形的面积，赖老师根据“平行线间距离处处相等”进行图形的等面积转化，“不易求”即刻变成“直接求”.

模型构建

等積变换基本模型：如图1，AB[?]CD，3对面积分别相等的图形是：△ACD和△BCD，△CAB和△DAB，△ACE和△BDE.

等积变换模型变式：1.如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为DC的中点，连接AE，AF，EF，则S△ABE  = S△ADF = [14]S平行四边形ABCD.

2.如图3，连接BD，BF，DE，由平行四边形ABCD可知AD[?]BC，AB[?]CD，由点E为BC的中点，F为DC的中点，可知EF[?]BD，则S△ABE = S△DBE = S△DBF = S△ADF.若将“E，F分别为BC，DC的中点”改成EF[?]BD，结论仍成立.

真题呈现

例1 如图4，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EF[?]BD，若△ABE的面积为2，则△ADF的面积为__________．

解析：连接DE，BF，由图4可得S△ABE = S△DBE = S△DBF = S△ADF，则S△ADF = 2.故填2.

变式延伸

例2 四边形ABCD是平行四边形，面积为72 cm2，点E，F分别为AB，BC的中点，DE，DF分别交AC于M，N，则图5中①②③的三部分面积和为__________cm2.

解析：连接EF并两端延长，分别与DA，DC的延长线相交于P，Q，如图6.

因为点E，F分别为AB，BC的中点，所以EF[?]AC.易证     △BEF≌△CQF≌△AEP，则EF = FQ = PE，因此△DPE、 △DEF、△DFQ的面积相等.由AC[?]PQ可知△DAM、△DMN、△DNC的面积相等，则AM = MN = CN.显然，DE，DF与AC的交点是AC的三等分点.易得S△DMN = 72 × [12] × [13] = 12，S△AEM = S△CNF = 72 ×   [12] × [13×12] = 6，所以S① + ② + ③ = 72 - 12 - 6 - 6 = 48. 故填48.

例3 如图7，△ABC的面积为2，AP垂直于∠ABC的平分线于P，则△PBC的面积为__________.

解析：由角平分线、垂线联想等腰三角形“三线合一”，延长AP交BC于D，如图8.

由题意知∠ABP = ∠DBP，BP = BP，∠APB = ∠DPB = 90°，

∴△ABP≌△DBP，∴AP = DP，∴S△ABP = S△DBP.

∵ S△APC = S△CPD， ∴S△ABP + S△APC = S△BPD + S△CPD = [12]S△ABC = 1，

∴S△PBC = 1.故填1.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：5分钟

如图9，正方形ABCD的边长为8 cm，长方形EBGF的长为10 cm，EF经过点A，G在边CD上，那么长方形的宽BE为__________cm.

答案

6.4