中点
- 中点加中点 构造中位线
图形中，有时虽有中点却无三角形的中位线，这时就要深入挖掘隐含条件，适当添加辅助线，以便构造中位线求解.模型构建例 如圖1，在△ABC中，AB = AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，连接BE，DE，∠ADE = ∠AED，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点. 求证：FG = FH.解析：∵∠ADE = ∠AED，∴AD = AE.∵AB = AC，∴AB - AD = AC - AE，即BD = CE.∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
初中生学习指导·提升版 2023年4期2023-04-17
- 有关中点基本图形的分类及辅助线的加法
康柳燕1 引言中点问题在中学阶段的地位举足轻重，与中点密切相关的线段[1]主要有两种：中位线和中线.这两个知识点贯穿整个初中几何，题目难度往往较大，学生解题没有方向.为此，笔者总结了7类有关中点的基本图形及做题方法，以供参考.2 有关中点的基本图形的分类及解法7类有关中点的基本图形及做题方法总结如表1：表1中位线一般出现在三角形和四边形的图形中，中线则在三角形的题型中经常使用，所以无论是分析图形还是构造辅助线，这两种线段都是我们的重要解题工具.下面展示这
中学数学杂志 2022年14期2022-08-05
- 遇等腰直角三角形这样作辅助线
参考.1 有斜边中点，连接成斜边上的中线例1 图1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，在BC边上任取一点P，作PQ∥AB交AC于点Q，作PR∥CA交BA于点R，D是BC的中点，求证：△RDQ是等腰直角三角形.证明 连接AD，RQ.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，所以∠DBR=45°，因为D是BC的中点，所以AD⊥BC，∠DAQ=45°，AD=BD=CD，所以∠DBR=∠DAQ，∠ADB=∠ADC=90°，因为PQ∥AB，PR∥CA，所以
数理天地(初中版) 2022年3期2022-07-24
- 运用点差法解答中点弦问题的步骤
，与所截得的弦的中点有关的问题称为圆锥曲线中的中点弦问题.其常见的命题形式有：求弦的中点的坐标、求中点弦所在直线的方程、求圆锥曲线的方程.此类问题主要考查圆锥曲线的方程、中点坐标公式、直线的方程、直线的斜率公式. 运用点差法解答圆锥曲线中的中点弦问题的步骤是：解：设P（x，y），Q（x，y），其中点M（x，y），将两式相减得25（y+y）（y-y）+75（x+x）（x-x）=0，∵x+x=2x=l，y+y=2y，解答本题主要采用了点差法.先设出P、Q、M的
语数外学习·高中版上旬 2022年5期2022-07-11
- 构建几何模型 秒杀中点问题
蔡忠平D由中点可以联想等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线等知识. 李英豪老师在《中点用法》直播课中，构建了与中点相关的几何模型，能够帮助同学们根据不同条件作出恰当的辅助线，从而解决与中点相关的几何问题.模型构建模型一：中点 + 等腰，如图1，考虑等腰三角形“三线合一”的性质;模型二：中点 + 直角，如图2，联想直角三角形斜边上的中线的性质;模型三：中点 + 中点，如图3，联想三角形的中位线的性质;模型四：中点 + 平行，如图4，
初中生学习指导·提升版 2022年7期2022-05-30
- 有关中点基本图形的分类及辅助线的加法
康柳燕1 引言中点问题在中学阶段的地位举足轻重，与中点密切相关的线段[1]主要有两种：中位线和中线.这两个知识点贯穿整个初中几何，题目难度往往较大，学生解题没有方向.为此，笔者总结了7类有关中点的基本图形及做题方法，以供参考.2 有关中点的基本图形的分类及解法7类有关中点的基本图形及做题方法总结如表1：表1中位线一般出现在三角形和四边形的图形中，中线则在三角形的题型中经常使用，所以无论是分析图形还是构造辅助线，这两种线段都是我们的重要解题工具.下面展示这
中学数学 2022年14期2022-04-16
- 向量运算中的一个结论及应用
C中，M为BC的中点的充要条件是AB+AC=2 AM。证明：由M为BC的中点，将该三角形补成以AB、AC为邻边的平行四边形，由向量加法的平行四边形法则及平行四边形的对角线互相平分，可得AB+AC=2 AM。反 之，由2 AM=AB +AC，可得BA+AM=AC-AM，则BM—MC，可知M是BC的中点。故原结论成立。
中学生数理化·高一版 2022年2期2022-04-05
- 构建几何模型秒杀中点问题
李英豪线段中点是几何图形中的一个重要且特殊的点，是构成一些常见几何模型的核心要素. 下面就与中点用法相关的四个常见几何模型展开说明.一、模型简介模型1：中点 + 等腰模型模型特征：如图1，△ABC中，AB = AC，点D为BC边的中点.联想方向：等腰三角形“三线合一”例1 如图2，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，M为BC的中点，MN⊥AC，垂足为N. 求MN的长.解析：根据模型1可以得出∠AMC = 90°，再根據勾股定理求出AM，最后
初中生学习指导·中考版 2022年3期2022-03-25
- 三角形的一条小性质
过这条边上中线的中点，在对边的射影是对边靠近第三个顶点的三等分点.反之，这条边的一个顶点与对边靠近第三个顶点的三等分点的连线必过此边中线的中点，亦成立.即如图3，在△ABC中，点D是AB的中点，点O为中线CD的中点，则BO与AC的交点E为AC的三等分点，或点B与AC的三等分点E的连线必过CD的中点O.我们把点E叫做点B通过点O在直线AC上的射影.图4进一步探究，可得如下结论.如图4，在△ABC中，AD为BC边上的中线，取中线AD的中点O1，连接BO1延长交
中学数学研究(江西) 2021年10期2021-11-10
- 2021年本刊原创题（八）
中，D为斜边BC中点，点E在BC下方，满足∠BEC = 45°，求AE∶DE的值. [A][C][B][D][E]图13.如图2，在等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC中点，点E在△ABC内部，满足∠BEC = 135°，求AE∶DE的值. [A][C][D][B][E]圖2答案：1. （3.2，4.4）或（-0.8，-3.6）或（5.6，1.2）或（-3.2，-0.4）2. [AE=2DE]3. [AE=2DE]
初中生学习指导·中考版 2021年10期2021-09-30
- 三角形的中线、高线邂逅面积
E，点D是AC的中点，若S△ABC=36，则S△ADF - S△BEF的值为（ ）.A. 9 B. 12 C. 18 D. 24解析：观察图形可以发现△ABD与△ABE存在公共部分△ABF，则[S△ABD-S△ABE=S△AFD+S△ABF-（S△BEF+S△ABF）=S△AFD-S△BEF]，∵S△ABC=36，EC=3BE，∴[S△ABES△ACE=BECE=13]，∴S△ABE [=14]S△ABC=
初中生学习指导·提升版 2021年9期2021-09-29
- 2021年本刊原创题（七）
，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，G在BC上，∠DEA = ∠DEG，求证：GE = GF. [A][E][D][F][B][C][G]图23.如图3，已知△BAC和△BED均为等腰直角三角形，其中∠BAC = 90°，∠EBD =90°，将△BED以点B为中心旋转，当点E，D，C三点共线时停止.取 EC的中点O，连接AO. 试探索AO与CD之间的关系. [B][E][O][D][A][C]图3
初中生学习指导·中考版 2021年9期2021-09-27
- 三角形中位线定理模型的应用
型】 1. 双中点模型条件：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的中点;结论：数量关系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置关系是[DE⫽BC]. （三角形中位线定理）2. 中点 + 平行线模型条件：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，DE[⫽]BC;结论：数量关系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置关系是点E是AC的中点. （证明过程略）通常借助辅助线构建三角形中位线定理模型，如：托底平行线型（如图2），中点平底线型（如图3）.
初中生学习指导·提升版 2021年4期2021-09-10
- 归纳提炼 转知成慧
O]为[AC]的中点. （1）如图1，当点[P]与点[O]重合时，线段[OE]和[OF]的关系是;（2）当点[P]运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立;（3）如图3，点[P]在线段[OA]的延长线上运动，当[∠OEF=30°]时，试探究线段[CF]，[AE]，[OE]之间的关系.[学情分析]（1）考查三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性质. 如图1，由AE⊥BD，CF⊥BD，易得AE[?]CF;由点O是AC
初中生学习指导·提升版 2021年8期2021-08-30
- 一般二次曲线中点弦公式及其应用
的形式给出了由弦中点坐标表示椭圆、双曲线、抛物线相应的弦的斜率的三个公式.本文对此推广，给出一般二次方程表示的二次曲线的弦的斜率与弦的中点坐标的关系式，并称此为中点弦公式．这样，文[1]中的三个公式就是一般中点弦公式的简单推论．同时，我们还运用中点弦公式给出一般二次曲线共点弦族与平行弦族中点轨迹方程的一般形式．1 一般二次曲线的中点弦公式平面上，由关于x,y的二元二次方程表示的曲线C称为二次曲线，简记为C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+
中学数学月刊 2021年8期2021-08-16
- 中点在解析几何问题中的三种用法
120) 王存斗中点问题是解析几何中最常见的题型之一，而如何用中点？如何求中点？学生可能没有成熟的经验和具体的措施，为此，本文从优化解题的角度来探讨中点在解析几何中的三种用法，供读者参考.一、抓住中点的几何特征中点的几何性质非常明显，也常隐藏在圆心、对称、平行四边形等条件中，如果能在解题中充分发挥它的几何作用，可使解题过程进一步优化.图1评注：由于D点是两直线的交点，很多同学都会想到“交轨法”求其轨迹方程，但本题若用此法，运算就会过于繁杂.而本解法是在理解
中学数学研究(江西) 2021年4期2021-04-13
- 想不到的斜边中线 看不见的中位线
，经常会出现多个中点.有的中点与另一个中点相连，就成了中位线;有的中点与直角顶点相连，就成了斜边的中线. 当图形复杂或图形不完整时，都会出现你想不到的斜边中线、看不见的中位线.例1 如图1，在[△ABC]中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.（1）求证：四边形ADEF是平行四边形;（2）求证：∠DHF = ∠DEF.解析：（1）由DE，EF是[△ABC]的中位线，可得DE[⫽]AC，EF[⫽]AB，则四边形ADEF是平行四边形.
初中生学习指导·提升版 2020年7期2020-09-10
- 一个中点基本图形的提炼与应用
别是AD，BC的中点，FE的延长线和BA，CD的延长线分别交于G，H.若AB=CD，求证：∠1=∠2简解 如图1，连接AC，取AC中点P，连接EP，FP，因为E，F分别是AD，BC的中点，所以EP，FP分别是△ADC，△ABC的中位线，所以PE12CD，PF12AB，所以∠2=∠4，∠1=∠3，又AB=CD，所以PE=PF，所以∠3=∠4，所以∠1=∠2评析 遇中点，在三角形中倍长中线和构造中位线是常见的解题切入口，本题已知四边形一组对边的两个中点，通过连
中学数学杂志(初中版) 2020年2期2020-05-08
- 例析与中点有关的辅助线的作法
中数学的解题中，中点起着非常重要的作用.如果能用好、用活中点，不但能提高解题速度，而且能够提高解题的准确度，提高学生的发散思维能力，为学生的数学学习插上腾飞的翅膀.线段的中点是几何图形中的一个非常特殊的点.在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点是处理中点问题的关键.但是由于含有中点的问题的辅助线作法灵活，不少学生难以掌握.一、中位线方法一(图2)分析在△ABC中存在一个中点D，所以需要再找到一个中点才能构造出D为中位线，这时候我们
数理化解题研究 2020年8期2020-03-30
- 都是中点惹的“祸”吗
的深入，我们和“中点”打交道的机会越来越多了，中位线、中线、中点四边形（顺次连接四边形各边中点的四边形叫中点四边形）等都和中点有着千丝万缕的关系，但有时不免容易将它们之间的关系混淆。下面是三个常见问题的错因剖析，希望能给同学们一些启发。例1 顺次连接四边形ABCD各边中点，所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）。A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形 D.对角线相等的四边形【错解】选B或C。【错因剖析】看到菱形就想到对角线互相垂
初中生世界·八年级 2019年5期2019-06-20
- 我出高考数学题 （二）
DC.0为AC的中点.E为PC的中点，PA=AC=2AB=2.（I）证明：平面DOE//平面PAB（Ⅱ）求直线ED与平面PBC所成角的正弦值.（I）证明：由于0为AC的中点，∠ABC=90°，且AC=2，所以BO=1/2 AC=1.同理，D0=1.又△ABC≌△ADC，2AB=2，所以AB=AD=1，則四边形ABOD是平行四边形，于是可知DO∥AB.由E为PC的中点，可知EO∥PA，由于DO∩ OE=O，PA ∩AB=A，DO，EO C平面DOE，PA，A
高中生·天天向上 2019年6期2019-06-18
- 都是中点惹的“祸”吗
的深入，我们和“中点”打交道的机会越来越多了，中位线、中线、中点四边形（顺次连接四边形各边中点的四边形叫中点四边形）等都和中点有着千丝万缕的关系，但有时不免容易将它们之间的关系混淆。下面是三个常见问题的错因剖析，希望能给同学们一些启发。例1顺次连接四边形ABCD各边中点，所得的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）。A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形 D.对角线相等的四边形【错解】选B或C。【错因剖析】看到菱形就想到对角线互相垂直，从而错选了
初中生世界 2019年18期2019-05-23
- 解题利器
——椭圆中有关中点弦的性质
宁中学 利用椭圆中点弦的性质,可以快捷、方便地解决有关中点弦问题。一、利用椭圆中点弦的性质，解决有关中点弦的斜率、所在直线方程问题例1已知椭圆=1内有一点P(3,1),过点P的直线l与椭圆交于A、B两点。若弦AB的中点恰为点P,则该直线l的斜率为 。分析:椭圆方程确定,中点确定,可以利用上述中点弦性质,得到所需的结论。例2已知椭圆内一点P(-1,1),过点P的直线l与椭圆交于A、B两点。若弦AB的中点恰为点P,则该直线l的方程为 。分析:要求直线方程,已知
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年12期2019-01-03
- 巧用结论快速解题
同一直线上两线段中点间的距离时得到的结论与同学们分享.设点C为线段AB上任意一点，点P、Q、R分别为线段AB、AC、BC的中点，如图1.图1如果我们把AB称为全线段，AC、BC称为分线段，那么可以得出下面两个结论：【结论一】全线段的中点与一分线段的中点的距离，等于另一分线段长的一半.【结论二】两分线段的中点间的距离等于全线段长的一半.利用以上两个结论，可使计算同一直线上两线段中点间的距离问题，省时、简捷.1.已知：如图2，设AC=4，BC=6，点P、Q、R
初中生世界 2016年5期2016-12-19
- 浅析初中数学中点问题
建芬浅析初中数学中点问题山西祁县第三中学畅建芬初中数学线段中点线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多。在近几年的中考题中，中点问题是高频题，涉及到选择、填空、简答每一种题型。添加适当的辅助线，恰当地利用中点是处理中点问题的关键。一、等腰三角形的“三线合一”如果已知等腰三角形底边上的中点，就要联想到“三线合一”的性质。例如：如图，已知：∠BAC=60°，AB= AC=2，D为BC边的中点，则AD=____分析：知道了底边BC的中点D，应该联
学苑教育 2016年21期2016-11-30
- 一题多解在初中几何题中的应用
O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC = EC.方法一 如图所示，连接AC.∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ACD = 90° = ∠ACE.∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠D + ∠ABC = 180°.又∠ABC + ∠EBC = 180°， ∴ ∠EBC = ∠D.∵ C是的中点， ∴ ∠1 = ∠2，∴ ∠1 + ∠E = ∠2 + ∠D = 90°，∴∠E=∠D，∴ ∠EBC=∠E， ∴ BC=EC.方法二如图所
数学学习与研究 2016年14期2016-05-30
- 初三复习中的线段中点问题
白新慧线段中点是几何图形中的一个特殊点，与线段中点有关的图形问题是初中数学的重要题型，也是各地中考试卷中的高频考点.与线段中点有关的结论很多，比如等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边一半、三角形中位线定理、平行四边形两条对角线的交点平分两条对角线，圆的垂径定理及其推论等.在初三总复习的教学过程中教师应该怎样引导学生运用中点巧妙灵活地解决问题呢？1梳理与中点有关的知识，使中点知识体系化把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点，这是线段中点的定义
中学数学杂志(初中版) 2016年1期2016-03-18
- 巧用结论 快速解题
同一直线上两线段中点间的距离时得到的结论与同学们分享.设点C为线段AB上任意一点，点P、Q、R分别为线段AB、AC、BC的中点，如图1.则PQ=AP-AQ=AB-AC=（AB-AC）=BC.PR=BP-BR=AB-BC=（AB-BC）=AC.QR=RC+QC=BC+AC=（BC+AC）=AB.如果我们把AB称为全线段，AC、BC称为分线段，那么可以得出下面两个结论：【结论一】全线段的中点与一分线段的中点的距离，等于另一分线段长的一半.【结论二】两分线段的中
初中生世界·七年级 2016年2期2016-03-03
- 与反比例函数有关的一个结论及应用
点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为.（2014年遵义）解析设E的坐标为（a，ka），则B点的坐标为（2a，ka），F点的坐标为（2a，k2a），所以BF=ka-k2a=k2a，因此S△BEF=12·a·k2a=k4，故k4=2，k=8.发现结论通过上述的探究发现：（1）从反比例函数上两点分别向两坐标轴上做垂线，构成矩形OABC，若其中一点是矩形边的中点，则另一点是矩形另一边的中点.（2）若反比例函数y=kx（k>0），如图1，则矩形OABC的
中学数学杂志(初中版) 2015年2期2015-05-06
- 追寻本质解法变式演绎精彩
——一道竞赛题的解法及变式探究
AB.线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）.二、分析与解法本题以学生熟悉的正方形为基本图形，主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，是一道综合性较强的试题.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移动，它的位置不确定，这也增加了试题的难度.笔者通过查阅资料及网上搜索发现，对这一试题的解法均采用了特殊化策略，即将正方形EFGH的位置特殊化，给出了如下解法1.解法1：如图2，将正方形E
中学数学杂志 2015年8期2015-03-17
- 对一道2013年全国初中数学竞赛题的剖析
别为AD与BC的中点，联结EF与BA的延长线相交于点N，与CD的延长线相交于点M.求证：∠BNF=∠CMF.(2013年全国初中数学联赛初二组初赛试题)图1 图21 证法剖析及推广证法1如图2，联结AC，取AC的中点K，联结EK，FK.因为AE=ED，AK=KC,所以同理从而故∠FEK=∠EFK.由EK∥DC,得∠CMF=∠FEK,又因为FK∥AB,所以∠BNF=∠EFK,因此∠BNF=∠CMF.推论1在四边形ABCD中，E,F分别是AD,CB的中点，AB
中学教研(数学) 2013年10期2013-10-26
- 中点出招，招招喜人
近年来,常出现以中点为背景的中考试题.现以2008年中考题为例,介绍借助中点构造基本图形的一些方法,希望对同学们有帮助.一､中点“安家”例1 (2008年·上海市)如图1,在△ABC中,点D在边AC上,DB=BC,点E是CD的中点,点F是AB的中点.求证:EF=AB.证明:连接BE.因为DB=BC,点E是CD的中点,所以BE⊥CD.又因为点F是Rt△ABE斜边上的中点,所以EF=AB.点评:此题出现了两次中点的“安家” .(1)中点E“安家落户”于等腰△B
中学生数理化·八年级数学华师大版 2008年12期2008-12-23
- 圆锥曲线的中点弦方程和中点弦长公式
,y0)是AB的中点，则有x1+x2=2x0 ①y1+y2=2y0 ②x21a2+y21b2=1 ③x22a2+y22b2=1 ④由③-④得x21-x22a2+y21-y22b2=0，即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,①，②代入得x0(x1-x2)a2+y0(y1-y2)b2=0⑤即x0a2+y0b2•y1-y2x1-x2=0(x1≠x2) ⑥⑥就是过AB的中点弦方程.再由①、②代入⑤消去x2,y2得x0(x1-x0
中学数学研究 2008年8期2008-12-09
- 二次曲线存在中点弦的一个充要条件
线的弦AB以M为中点，则称AB为过点M的中点弦.中点弦问题是中学解析几何中的典型问题，它的存在性容易忽视.本文探究根据二次曲线方程及中点M的坐标判断中点弦的存在性及弦的方程.“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
中学数学杂志(高中版) 2008年4期2008-07-31