三角形的中线、高线邂逅面积

王锋

【重要结论】

1. 三角形的一条中线将其分为面积相等的两个三角形.

如图1，AD是△ABC的中线，则[S△ABD=S△ACD=12S△ABC].

2. 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比.

如图1，[S△ABDS△ACD=BDCD].

【结论运用】

例1 如图2，在△ABC中，点E是BC上一点，EC=3BE，点D是AC的中点，若S△ABC=36，则S△ADF - S△BEF的值为（ ）.

A. 9         B. 12       C. 18           D. 24

解析：观察图形可以发现△ABD与△ABE存在公共部分△ABF，

则[S△ABD-S△ABE=S△AFD+S△ABF-（S△BEF+S△ABF）=S△AFD-S△BEF]，

∵S△ABC=36，EC=3BE，

∴[S△ABES△ACE=BECE=13]，∴S△ABE [=14]S△ABC=9.

∵点D是AC的中点，S△ABD [=12]S△ABC=18，

∴S△ADF - S△BEF = S△ABD - S△ABE=18 - 9=9. 故选A.

例2 如图3，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=28 cm2，则阴影部分的面积是（ ）cm2.

A. 21 B. 14 C. 10 D. 7

解析：∵S△ABC=28 cm2，D为BC的中点，∴S△ADB=S△ADC [=12S△ABC=] 14 cm2，

∵E为AD的中点，

∴S△BED [=12S△ADB=] 7 cm2，S△CED [=12]S△ADC=7 cm2，

∴S△BEC=S△BED + S△CED=14 cm2，

∵F為CE的中点，∴S△BEF [=12]S△BEC=7 cm2. 故选D.

【同类演练】如图4，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD ∶ CD=2 ∶ 3，AD，BE交于点O，若S△AOE - S△BOD=1，则△ABC的面积为 .

答案：10