燕尾全等三角形模型的构建与应用

崔成进 齐共云

[原题再现]

如图1，点D在AB 上，点E在AC上，AB = AC，∠B = ∠C. 求证：AD = AE.  （此题为人教版八年级上册第40页例3）

[模型提炼]

如图1，△ACD和△ABE是一对燕尾三角形，其中，△BDF和△CEF称为燕尾三角形，∠BAC为燕头角，∠B和∠C为燕尾角. 燕尾三角形有如下基本性质：（1）全等性：△ACD ≌ △ABE，△BDF ≌ △CEF;（2）等角：燕头角相等，燕尾角相等;（3）等线：AB = AC，AD = AE，DB = EC，DC = EB，FD = FE，FB = FC.

[变式应用]

1. 条件开放

例1 如图2，在等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE ≌ △ACD的是（ ） .

A. AD = AE B. BE = CD C. ∠ADC = ∠AEB D. ∠DCB = ∠EBC

解析：根據“SAS”可得△ABE ≌ △ACD，已知AD = AE，添加选项A能判定三角形全等;由∠ADC = ∠AEB， ∠A = ∠A，AB = AC，根据“AAS”可证△ABE ≌ △ACD，则添加选项C能判定三角形全等;由∠DCB = ∠EBC，∠DBC = ∠ECB，得∠ABE = ∠ACD，根据“ASA”可证△ABE ≌ △ACD，则添加选项D能判定两个三角形全等;由选项B不能判定三角形全等. 故选B.

2. 探索位置

例2 如图3，已知BD和CE相交于点O，且OB = OC，OE = OD. （1）求证：△BOE ≌ △COD;（2）你能在点O的同旁找一点A，使得△ABC是等腰三角形吗？说明理由.

解析：（1）∵OB = OC，∠BOE = ∠COD，OE = OD，∴△BOE ≌ △COD（SAS）;

（2）能. 理由：如图4，延长BE，CD交于点A，则AB = AC.

由（1）知，△BOE ≌ △COD，∴BO = CO，∠EBO = ∠DCO，∴∠DBC = ∠ECB，

∴∠DBC + ∠EBO = ∠ECB + ∠DCO， ∴∠EBC = ∠DCB，∴AB = AC.

  [能力提升]

如图5，在△ABC中，∠ACB = 90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC = ED，BC，ED交于点O. 写出图中所有的全等三角形，并选择你喜欢的一对给出证明.