角平分线定理的运用

孟庆豹 左效平

[原题再现]

例1（人教版八年级上册第52页第7题）如图1，∠B = ∠C = 90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.

求证：AE是∠DAB的平分线.（提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F）

反思：当问题中有点到直线的距离时，可构造另一条距离，从而证明两距离相等.

[变式思考]

变式1 探索位置关系新结论

例2  如图1，∠B = ∠C = 90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 线段AE，DE的位置关系如何？证明你的猜想.（结论为AE⊥DE，请同学们尝试证明）

变式2 探索面积关系新结论

例3 如图1，∠B = ∠C = 90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.设△DCE的面积为[S1]，△ADE的面积为[S2]，△ABE的面积为[S3]，则[S1]，[S2]，[S3]之间的关系如何？证明你的猜想.（结论为[S2] = [S1] + [S3]，请同学们尝试证明）

变式3 变换已知与结论，探索命题的真伪

例4 如图1，∠B = ∠C = 90°，AE是∠DAB的平分线，DE平分∠ADC.求证：E是BC的中点.（请同学们尝试证明）

[方法应用]

1.判断点是否在角的平分线上

例5（2020·江苏·扬州）已知：如图2，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB = OC，（1）求证：△ABC是等腰三角形;（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.

解析：（1）略;（2）点O在∠BAC的平分线上.理由：

①结合定义，利用三角形全等法.

方法1：如图2，连接AO，由（1）知，AB = AC，∵OB = OC，AO = AO，

∴△ABO ≌ △ACO（SSS），∴∠BAO = ∠CAO，∴点O在∠BAC的平分线上.

方法2：如图2，连接AO，易证△BDC ≌ △CEB（ASA）， ∴BD = CE.

∵OB = OC，∴OD = OE，∵∠BDC = ∠CEB = 90°，AO = AO， ∴△ADO ≌ △AEO（HL），

∴∠DAO = ∠EAO，∴点O在∠BAC的平分线上.

②结合性质，利用等距离法

方法3：如图2，∵OB = OC，∠BEO = ∠CDO = 90°， ∠BOE = ∠COD，

∴△BOE ≌ △COD（AAS），∴OE = OD，∴点O在∠BAC的平分线上.

方法4：如图2，∵△BDC ≌ △CEB， ∴BD = CE.

∵OB = OC，∴OE = OD. ∵∠BEO = ∠CDO = 90°，∴点O在∠BAC的平分线上.

2.证明是角的平分线

例6 如图3，在△OAB和△OCD中，OA = OB，OC = OD，OA>OC，∠AOB = ∠COD = 40°，连接AC，BD交于点M，连接OM. 下列结论：①AC = BD;②∠AMB = 40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC. 其中正確的个数为（ ）.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

解析：∵∠AOB = ∠COD = 40°，∴∠AOB + ∠AOD = ∠COD + ∠AOD，

∴∠AOC = ∠BOD，

在△AOC和△BOD中，[OA=OB]，[∠AOC=∠BOD]，[OC=OD]，

∴△AOC ≌ △BOD（SAS），

∴∠OCA = ∠ODB，AC = BD，∴①正确;

∵△AOC ≌ △BOD，∴∠OAC = ∠OBD，

由三角形的外角性质得∠AMB + ∠OAC = ∠AOB + ∠OBD，∴∠AMB = ∠AOB = 40°，∴②正确;

作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图3所示，∴∠OGC = ∠OHD = 90°，

在△OCG和△ODH中，[∠OCA=∠ODB]，[∠OGC=∠OHD]，[OC=OD]，

∴△OCG ≌ △ODH（AAS），∴OG = OH，

∴MO平分∠BMC，∴④正确. 正确的个数为3. 故选B.

例7 如图4，△[ABC]，△[AEF]均为等边三角形，连接[BE]，CF，延长[CF]交[BE]于[D].（1）求证：△CAF [≌△BAE];（2）连接[AD]，求证：[DA]平分[∠CDE].

解析：（1）∵△ABC，△AEF是等边三角形，

∴AC = AB，AF = AE，∠CAB = ∠EAF，

∴∠CAB - ∠FAB = ∠EAF - ∠FAB，∴∠CAF = ∠BAE，

∴△CAF ≌ △BAE;

（2）过点A分别作AH⊥CD于点H，AG⊥BE，交BE的延长线于点G，

由（1）知，△CAF ≌ △BAE，∴CF = BE，[S△CAF=S△BAE]，

∴[12×CF×AH=12×BE×AG]，∴AH = AG，∴DA平分∠CDE.

如图5，已知B（[-1]，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC = ∠BAC = 60°. 下列结论：①∠ABD = ∠ACD;②DA平分∠CDE;③BA平分∠CBD;④DC = DA + DB. 其中正确的是 .

答案：① ② ④