变化多样的全等三角形

刘家良

全等三角形形式多样，可提炼、归纳出五种常见形式.

一、平移型

例1（2020·江苏·常州）已知：如图1，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA = FB，AB = CD.（1）求证：∠E = ∠F;（2）若∠A = 40°，∠D = 80°，求∠E的度数.

分析：欲证两个角相等，可证这两个角所在的三角形全等.

解：（1）∵EA∥FB，∴∠A = ∠FBD.

∵AB = CD，∴AB + BC = CD + BC，即AC = BD.

∵[EA=FB]，[∠A=∠FBD]，[AC=BD]，

∴△EAC ≌ △FBD（SAS），∴∠E = ∠F.

（2）由△EAC ≌ △FBD，得∠ECA = ∠D = 80°.

在△EAC中，由三角形内角和定理，得∠E = 180° - ∠A - ∠ECA = 180° - 40° - 80° = 60°.

注：图1中的△FBD视为△EAC沿AB方向平移得到的，平移的距离为AB的长.

二、对称型

例2（2020·湖南·怀化）如图2，在△ABC和△ADC中，AB = AD，BC = DC，∠B = 130°，则∠D等于     °.

分析：先根据全等三角形的判定方法“SSS”证明△ABC ≌ △ADC，再由全等三角形的性质得到∠D = ∠B = 130°.

解：在△ADC和△ABC中，[AB=AD]，[AC=AC]，[BC=DC，]

∴△ABC ≌ △ADC（SSS），∴∠D = ∠B = 130°. 故应填130°.

注：图2中的△ABC与△ADC关于直线AC对称.

变式：若去掉图2中的线段AC，其他条件不变，如何求∠D呢？

三、旋转型

例3（2020·江苏·徐州）如图3，AC⊥BC，DC⊥EC，AC = BC，DC = EC，AE与BD交于点F.（1）求證：AE = BD;（2）求∠AFD的度数.

分析：（1）欲证两线段相等，可证它们所在的三角形全等.（2）观察∠AFD是哪个三角形的外角，结合“全等三角形的对应角相等”即可得解.

解：（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB = ∠DCE = 90°，

∴∠ACB + ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE，∴∠ACE = ∠BCD.

∵[AC=BC]，[∠ACE=∠BCD]，[EC=DC]，

∴△ACE ≌ △BCD（SAS），∴AE = BD.

（2）如图4，设AE与BC交于点N，

则∠AFD为△BNF的外角.

∵∠ACB = 90°，∴∠A + ∠ANC = 90°.

由△ACE ≌ △BCD，得∠A = ∠B.

∵∠ANC = ∠BNF，∴∠B + ∠BNF = ∠A + ∠ANC = 90°，

∴∠AFD = ∠B + ∠BNF = 90°.

注：图3中的△BCD视为由△ACE绕点C顺时针旋转得到的.

四、“一线三直角”型

例4（2020·江苏·南充）如图5，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC = DE，求证：AB = CD.

证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，

∴∠ACE = ∠ABC = ∠CDE = 90°，

∴∠ACB + ∠ECD = 90°，∠ECD + ∠CED = 90°，∴∠ACB = ∠CED.

在△ABC和△CDE中，[∠ACB=∠CED]，[BC=DE]，[∠ABC=∠CDE，]

∴△ABC ≌ △CDE（ASA），∴AB = CD.

注：对于一条直线上有三个直角顶点的图形，获取对应角相等，经常会利用“同角的余角相等”.

变式：求证BD = AB + DE.

五、“手拉手”型

例5（2020·山东·菏泽）如图6，在△ABC中，∠ACB = 90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC = ED，求证：CE = DB.

分析：欲证CE = DB，需证AE = AB且AC = AD.

证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE = 90°.

∵∠ACB = 90°，∴∠ACB = ∠ADE.

在△AED和△ABC中，[∠ACB=∠ADE]，[∠A=∠A]，[BC=DE]，

∴△AED ≌ △ABC，

∴AE = AB，AD = AC，

∴AE - AC = AB - AD，即EC = BD.

注：这类“手拉手”图形中的公共角是沟通三角形全等的条件之一.

随着学习的逐步深入，同学们还会遇到全等三角形的其他形式. 当然，无论面对哪种形式，都要围绕寻找对应边和对应角来展开.