中点出招，招招喜人

徐建军

近年来,常出现以中点为背景的中考试题.现以2008年中考题为例,介绍借助中点构造基本图形的一些方法,希望对同学们有帮助.

一､中点“安家”

例1 (2008年·上海市)如图1,在△ABC中,点D在边AC上,DB=BC,点E是CD的中点,点F是AB的中点.求证:EF=AB.

证明:连接BE.因为DB=BC,点E是CD的中点,所以BE⊥CD.又因为点F是Rt△ABE斜边上的中点,所以EF=AB.

点评:此题出现了两次中点的“安家” .(1)中点E“安家落户”于等腰△BCD中,以便使用“三线合一”性质.(2)中点F“安家落户”于Rt△ABE中,利于使用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

二､中点“寻亲”

例2(2008年·德州市)如图2,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2, BC=3,CD=1,E是AD中点.求证:CE⊥BE.

证明:取BC的中点F,连接EF. 因为E是AD的中点,F是BC的中点,AB=2,CD=1,所以EF=(DC+AB)= ×

(1 + 2)=.由于BC=3,所以EF=BF=CF.所以∠FCE=∠FEC,∠FEB=∠FBE. 因为∠FCE+∠FEC+∠FEB+∠FBE=180°,所以2∠FEC+2∠FEB=180°,即∠FEC+∠FEB=90°,所以CE⊥BE.

点评:条件中含有中点E,暂时又“无家可归”,可“寻找亲人”,让两中点E､F“手拉手”,构造中位线,然后运用中位线定理解决问题.

三､中点“嫁人”

例3(2008年·乐山市)如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,点E是边CD的中点,若AB = AD+BC, BE = ,则梯形ABCD的面积为

().

A. B.

C. D. 25

解:延长BE､AD交于点F,连接AE. 因为AD∥BC,所以∠F=∠EBC,∠FDE=∠C.又DE=CE,所以△DEF ≌△CEB,从而BE=FE,DF=CB,S△DEF=S△CEB,所以S梯形ABCD =S△ABF. 因为AB=AD+BC,所以AB=AD+DF=AF.因为四边形ABCD是直角梯形,所以∠BAF=90°. 因为AB =AF,∠BAF=90°,BE=FE,所以AE⊥BF,AE=BE=EF. 因为BE=,所以AE= ,BF=5,所以S 梯形ABCD =S△ABF=·BF·AE=.故应选A.

点评:条件中含有中点和平行线,可借助于平行线,通过全等将中点“另嫁他人”,成为另一线段的中点,然后再考虑为它“安家”或“寻亲”.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。