对一道2013年全国初中数学竞赛题的剖析

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(浮山中学 安徽枞阳 246736)

对一道2013年全国初中数学竞赛题的剖析

●章礼抗

(浮山中学 安徽枞阳 246736)

题目如图1，已知在四边形ABCD中，AB=DC，E,F分别为AD与BC的中点，联结EF与BA的延长线相交于点N，与CD的延长线相交于点M.求证：∠BNF=∠CMF.

(2013年全国初中数学联赛初二组初赛试题)

图1 图2

1 证法剖析及推广

证法1如图2，联结AC，取AC的中点K，联结EK，FK.因为AE=ED，AK=KC,所以

同理

从而

故

∠FEK=∠EFK.

由EK∥DC,得

∠CMF=∠FEK,

又因为FK∥AB,所以

∠BNF=∠EFK,

因此

∠BNF=∠CMF.

推论1在四边形ABCD中，E,F分别是AD,CB的中点，AB,CD的延长线分别与EF的延长线交于点N,M，则

(1)AB>DC⟺∠ANE<∠CME；

(2)AB∠CME.

证明如图2，联结AC，取AC的中点K，联结EK，FK.因为

AE=ED,AK=KC,

所以

同理

故

在△EKF中根据大边对大角,知

∠FEK>∠EFK.

因为EK∥DC,所以

∠CMF=∠FEK,

又因为FK∥AB,所以

∠BNF=∠EFK,

故

∠ANE=∠BNF<∠CMF，

即推论1的第(1)个等价关系成立.同理可证第(2)个等价关系也成立.

证明联结AC，取AC的中点M，联结MF,ME.因为E,F是四边形ABCD的一组对边ABCD的中点，且MF,ME分别是△ADC,△ABC的中位线,所以

在△MEF中，因为EF

图3 图4

证明取AD中点G，联结EG，FG.已知E是AC的中点,则EG是△ACD的中位线，因此

同理，由F，G分别是BD和AD的中点得

在△EFG中，

由式(1)，(2)，(3)知

分析2由证法1联结BD，取BD的中点G，则可得到菱形.

证法2如图5，联结BD，AC.取BD，AC的中点G，H，联结EG，EH，FG，FH.因为E，F分别为AD与BC的中点，所以

EGHFAB，

同理可得

GFEHDC.

又因为AB=DC,所以EGFH是菱形,故

∠BNF=∠GEF=∠FEH=∠FMC.

图5 图6

推论4如图6，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M,N分别为AD,BC的中点，MN与AC,BD分别交于点E,F.证明：∠AEM=∠NFB.

证明取AB的中点P，联结MP,NP，则MP，NP分别是△ABD与△BCA的中位线.因为

PM∥BD，PN∥AC，

且

所以

∠NFB=∠DFM=∠PMN,

∠AEM=∠CEN=∠PNM.

因为AC=BD,所以

PM=PN,

从而

∠PMN=∠PNM,

故

∠AEM=∠NFB.

分析3根据“锐角两边对应平行则两角相等”可创造条件：联结CE并延长至点G，使EG=EC.由E是AD的中点可知△GAE≌△CDE，从而GA∥MC，由EF是△BCG的中位线知GB∥EF.

证法3如图7，延长CE至点G，使CE=GE，联结GA,GB.由E是AD的中点,知

GA=DC.

因为AB=DC，所以

BA=GA.

又因为EF是△BCG的中位线,所以

GB∥MF,

从而

∠GBA=∠BNF=∠BGA.

由∠BGA与∠FMC的两边对应平行,知

∠BGA=∠FMC=∠GBA=∠BNF.

图7 图8

分析4由证法3的提示，可联结DF，并延长DF至点G，使FG=DF.同时利用“中位线和锐角两边对应平行则两角相等”，可转化两角.

证法4如图8，联结DF，并延长DF至点G，使FG=FD，联结AG，BG.易知△DCF≌△GBF,从而

BG∥DC.

因为EF是△AGD的中线,所以

FE∥AG.

又因为AB=DC，所以

BA=GB,

从而

∠BGA=∠BAG=∠BNF.

由∠BGA与∠FMC的两边对应平行,知

∠FMC=∠BGA=∠BAG=∠BNF.

分析5要证的2个角不在同一个三角形中，可先转化到同一个三角形中.过点E分别作EH,EG，使EH∥DC，EG∥AB，且EH=DC，EG=AB，这样只要证明在△GEH中∠GEF=∠FEH=∠BNF=∠CMF.

证法5如图9，过点E作EHDC，EGAB，则四边形ABGE和EHCD是平行四边形.由AB=DC,E,F分别为AD与BC的中点，知△BGF≌△CHF,从而点G，F，H共线,故在△GEH中，∠GEF=∠FEH=∠BNF=∠CMF.

推论5在四边形ABCD中，E,F分别是AD,CB的中点，且AD∥BC，则

证明(1)如图10，过点E作EK∥DC，EG∥AB，且分别交BC于点K，G.因为AD∥BC，所以ABGE和CKED是平行四边形，从而

BG=AE，KC=ED.

又当∠B+∠C=90°时，

∠EGK+∠EKG=90°，

E,F分别是AD,CB的中点,从而

∠EGK+∠EKG=90°，

即

∠B+∠C=90°,

同理可知推论5的(2)和(3)结论成立

分析6受证法5的启发，可过点D作DG∥AB，且DG=AB.同时利用“中位线和锐角两边对应平行则两角相等”的原理，可转化两角.

证法6如图11，过点D作DGAB，联结GC，取GC的中点H，联结DH,FH,则四边形ABGD是平行四边形.因为E,F分别是AD,BC的中点，且AB=DC,所以FHBG,从而FHDE，故四边形EFHD是平行四边形,因此

∠HDC=∠FMC，∠GDH=∠BNF.

又因为△GDC是等腰三角形,所以

∠GDH=∠HDC=∠BNF=∠CMF.

图11 图12

分析7要证的2个角不在同一个三角形中，可先转到一个等腰三角形中，E,F分别是AD,BC的中点，可利用平行线切割线段成比例性质进行证明.

证法7如图12，过点D,C分别作AB的平行线，交MF及其延长线于点G,K.由E是AD的中点，得

△AEN≌△DEG,

由F是BC的中点，得

△BFN≌△CFK.

因为AN=DG，BN=CK,且GD∥CK,所以

从而

即

又因为AN=MD=DG,所以

∠GMD=∠MGD=∠ANG.

图13

分析8要证的2个角可以转化到同一个等腰梯形中，再利用中位线的性质进行证明.

证法8如图13，过点A,B分别作MF的平行线交CM及其延长线于点G,K,则

∠ANE=∠KBN，∠FMC=∠BKC.

因为E,F分别是AD,BC的中点，所以点M分别是GD,KC的中点.又因为KG=DC,AB=DC,所以四边形GKBA是等腰梯形,从而

∠KBN=∠BKM=∠BNF=∠CMF.

该题还有很多更好的证明方法，留给读者思考.