想不到的斜边中线 看不见的中位线

邹兴平

在几何图形中，经常会出现多个中点.有的中点与另一个中点相连，就成了中位线;有的中点与直角顶点相连，就成了斜边的中线. 当图形复杂或图形不完整时，都会出现你想不到的斜边中线、看不见的中位线.

例1 如图1，在[△ABC]中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.（1）求证：四边形ADEF是平行四边形;（2）求证：∠DHF = ∠DEF.

解析：（1）由DE，EF是[△ABC]的中位线，可得DE[⫽]AC，EF[⫽]AB，

则四边形ADEF是平行四边形.

（2）[∵]AH是边BC上的高，D，F分别是AB，CA的中点，

[∴]在[Rt△ABH]中，DH = AD，在[Rt△ACH]中，FH = AF，

[∴]∠AHD = ∠BAH，∠AHF = ∠CAH，[∴]∠DHF = ∠BAC，

[∵]四边形ADEF是平行四边形，[∴]∠DEF = ∠BAC，[∴]∠DHF = ∠DEF.

例2 如图2，CD平分∠ACB，AD[⊥]CD，E是AB的中点，AC = 15，BC = 27，求DE.

解析：已知点E是AB的中点，由CD平分∠ACB，AD[⊥]CD，联想构造等腰三角形，利用“三线合一”使点D成为图2中另一个中点，从而ED变成“看得见”的中位线.

延长AD交BC于F，[∵]CD平分∠ACB，AD[⊥]CD，

[∴]∠ACD = ∠FCD，∠ADC = ∠FDC，[∴]∠CAD = ∠CFD，[∴]AC = FC，AD = FD.

∵AE = EB，∴DE是[△ABF]的中位线.

[∴]DE = [12]BF = [12]（BC - CF） = [12]（BC - AC） = 6.

例3 如图3①，在[△ABC]中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于O，AG[⊥]BE于G，AH[⊥]CF于H.（1）求证：GH[⫽]BC;（2）若AB = 9，AC = 14，BC = 18，求GH.（3）若将条件“∠ABC，∠ACB的平分线”改为“∠ABC的平分线及∠ACB的外角平分线”（如图3②），或改为“∠ABC，∠ACB的外角平分线”（如图3③），其余条件不变，求证：结论GH[⫽]BC仍成立.

解析：与例2类似，有角平分线、垂直，延长后构造等腰三角形，可利用“三线合一”进行证明.

（1）分别延长AG，AH交BC于M，N，如图4所示，

∵BG平分∠ABM，BG[⊥]AM，

∴∠ABG = ∠MBG，∠BGA = ∠BGM.

∴∠BAM = ∠BMA. ∴BA = BM.

同理CA = CN，∴G，H分别是AM，AN的中点，

∴GH是[△AMN]的中位线，

∴HG[⫽]MN，∴HG[⫽]BC.

（2）由（1）知，BM = AB = 9，CN = AC = 14.

∴MN = BM+CN-BC = AB+AC-BC = 9+14-18 = 5.

（3）无字证明如图5、图6，相信同学们都能看懂，请自己写出证明过程.

[图4][图5] [A][B][C][M][N][H][F][E][G][图6] [A][B][C][E][F][O][G][H][M][N] [A][B][C][M][N][H][F][G][E]

例4 如图7，[AB<CD]，E，F为对角线BD和AC的中点.求证：[12CD-AB<EF<12CD+AB].

解析：要证明的结论与三角形的三边关系有关，只要构造一个以CD长的一半、AB长的一半、EF长为三边的三角形即可，由此联想到中位线，取BC的中点G，连接EG，FG.

[∵]E是BD的中点，G是BC的中点，[∴]EG是[△BCD]的中位线，

[∴]EG = [12]CD. 同理FG = [12]AB.

在[△EFG]中，[∵][EG-FG<EF<EG+FG]，

[∴][12CD-AB<EF<12CD+AB].

例5 在四边形ABCD中，AC = BD，点E，F分别是AB，DC的中点，EF交AC，BD于点N，M. 求证：OM = ON.

解析：要证OM = ON，可从等角对等边入手，证明∠OMN = ∠ONM，考虑到对角线AC = BD，能否再来一次等边对等角呢？构造AC，BD的一半则需要构造三角形的中位线，自然而然地想到BC的中点.

如图8，取BC的中点G，连接EG，FG，

[∵]G是BC的中点，E是AB的中點，[∴][EG⫽AC]，[EG=12AC].

[∵]G是BC的中点，F是CD的中点，[FG⫽BD]，[FG=12BD].

[∵]AC = BD，[∴]EG = FG，[∴]∠GEF = ∠GFE.

[∵][EG⫽AC]，[∴]∠GEF = ∠ONM.

[∵][FG⫽BD]，[∴]∠GFE = ∠OMN，

[∴]∠OMN = ∠ONM，[∴]OM = ON.