追寻本质解法变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究

追寻本质解法变式演绎精彩
——一道竞赛题的解法及变式探究

☉宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校张宁

图1

一、试题呈现

题目（2011年北京市初二数学竞赛试题）如图1，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）.

二、分析与解法

本题以学生熟悉的正方形为基本图形，主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，是一道综合性较强的试题.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移动，它的位置不确定，这也增加了试题的难度.笔者通过查阅资料及网上搜索发现，对这一试题的解法均采用了特殊化策略，即将正方形EFGH的位置特殊化，给出了如下解法1.

解法1：如图2，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，则点N为AD的中点，过点M作MP⊥AD，垂足为P.

图2

图3

点评：对正方形EFGH的位置特殊化的策略不只这一种，读者可自行尝试.这种解法虽然过程简单，但不能体现最基本最核心的解题方法，也无法认识本题的本质特征.

笔者尝试另辟蹊径，用解析法求解，得到如下解答.

解法2：如图3，以AD所在直线为x轴，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

设OA=a，OE=b，则OD=a+3，OF=1+b.

所以H（1，b），D（a+3，0），

F（0，1+b），C（a+3，3）.

点评：若点A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB的中点坐标为；线段AB的长度为这是高中解析几何中的两个重要公式，对初中生来说并不熟悉，因此这种解法对初中生而言并不可取.经笔者探究，最终得到如下解法.解法3：如图4，连接CG，取CG的中点P，连接PN.

因为点M是CF的中点，点P是CG的中点，所以MP是△CFG的中位

图4

点评：点M为线段CF的中点，点N为线段DH的中点，由此可联想到梯形与三角形的中位线，因此需要构造梯形或三角形，通过连接CG，可构造出△CFG、梯形HDCG.为架起点M与点N之间的桥梁，取线段CG的中点P，连接PM、PN，从而实现了三角形或梯形中位线性质的应用条件，这也是解决本题的关键所在.本题的解法体现最基本最核心的解题方法，也充分体现了试题的本质特征.

三、变式探究

本题中除两个正方形之外，试题中的两条线段是通过连接点C与点F、点D与点H而来的.受解法3的启发，经笔者探究发现，通过改变试题中这两条线段的构造方式，但不改变M、N是所构造线段中点的事实，可得到诸多优美试题.

变式1如图5，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段CG的中点为M，DF的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图5，连接DG，取DG的中点P，连接PN、PM.

因为点M是CG的中点，点P是DG的中点，所以MP是△GCD的中位线，所以M

因为点P是DG的中点，点N是FD的中点，所以PN是△DFG的中位线，所以P

图5

因为FG⊥GH，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

图6

考查知识：本题主要考查三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识点.

变式2如图6，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BG的中点为M，DG的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图6，连接CG，取CG的中点P，连接PN、PM.

因为点M是BG的中点，点P是CG的中点，所以MP是△GBC的中位线，所以MP=

因为点P是CG的中点，点N是DG的中点，所以PN是△GCD的中位线，所以

因为BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

图7

考查知识：本题主要考查三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识点.

变式3如图7，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BF的中点为M，DH的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图7，连接CG，取CG的中点P，连接PN、PM.

因为点M是BF的中点，点P是CG的中点，所以MP是梯形FGCB的中位线，所以

因为点P是CG的中点，点N是DH的中点，所以PN是梯形GHDC的中位线，所以

因为BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

图8

考查知识：本题主要考查梯形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识点.

变式4如图8，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BG的中点为M，DH的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图8，连接CG，取CG的中点P，连接PN、PM.

因为点M是BG的中点，点P是CG的中点，所以MP是△GBC的中位线，所以

因为点P是CG的中点，点N是DH的中点，所以PN是梯形GHDC的中位线，所以PN2，NP∥CD.

因为BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.由勾股定理可知

图9

考查知识：本题主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识点.

变式5如图9，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BF的中点为M，DG的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图9，连接CG，取CG的中点P，连接PN、PM.

因为点M是BF的中点，点P是CG的中点，所以MP是梯形FGCB的中位线，所以

因为点P是CG的中点，点N是DG的中点，所以PN是△GDC的中位线，所以

因为BC⊥CD，所以MP⊥NP，即∠MPN=90°.

考查知识：本题主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识点.

变式6如图10，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BG的中点为M，DF的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图10，连接CG，取CG的中点P，连接DG，取DG的中点Q，连接PQ、QN、PM，过点N作NR⊥MP，垂足为R.

图10

因为FG⊥CD，所以NQ⊥PQ.

因为BC⊥CD，所以MP⊥PQ.

图11

考查知识：本题主要考查三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点.

变式7如图11，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BG的中点为M，CE的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图11，连接CG，取CG的中点P，连接CH，取CH的中点Q，连接PQ、QN、PM，过点N作NR⊥MP，垂足为R.

因为EH⊥CD，所以NQ⊥PQ.

因为BC⊥CD，所以MP⊥PQ.

图12

考查知识：本题主要考查三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点.

变式8如图12，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB.线段BG的中点为M，DE的中点为N，求线段MN的长.

解析：如图12，连接CG，取CG的中点P，连接DH，取DH的中点Q，连接PQ、QN、PM，过点N作NR⊥MP，垂足为R.

因为PQ是梯形GHDC的中位线，所以

因为EH⊥CD，所以NQ⊥PQ.

因为BC⊥CD，所以MP⊥PQ.

考查知识：本题主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、直角三角形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点.

由以上探究过程可以看出，对一些内涵丰富的试题通过变式可得到一系列优美试题，这也是快速命制各类试题的一种常用方法.通过变式探究得到的试题，可根据命题意图及考试需要，合理地加以利用.解决这些试题的关键是架起两条线段中点联系的桥梁，这也是这类问题的难点所在.即要添加适当的辅助线，构造出三角形或梯形的中位线，然后利用中位线的性质求解.H