重视课本资源，促进数学发现——一道“幻方填数题”的教学及反思

☉江苏省南通市虹桥二中汤 双

重视课本资源，促进数学发现
——一道“幻方填数题”的教学及反思

☉江苏省南通市虹桥二中汤 双

近读《中学数学》，不少教师针对离开教材搞教学的现象多有批判，以笔者所见，当前由于所谓的“导学案”的流行，有些同行确实把教材置于一旁，只是组织学生练习导学案、教辅资料，对教材的研究不够，特别是对教材上一些特色栏目缺少关注和研究.本文结合新人教版七年级上册第21页“实验与探究”中的一道幻方填数题，谈谈在教学过程中引导学生展开发现式学习，实现神机妙算的一些做法，提供研讨.

一、教学案例

教材原题：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9.同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都是15.如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.

图1

图2

你能将-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入如图2所示的幻方的空格中，使每一行、每一列、每一条斜对角线上的3个数之和相等吗？

教学时，笔者将要求降低，要求学生将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数分别填入图2的9个空格中，使得每一行、每一列、每一条斜对角线上的3个数的和相等.

经过猜想、推理、修正、论证，学生发现在具体填数时，首先应确定关键位置，也就是最中间的空格.

师：为什么？

生1：因为它参与的运算最多，而且关键位置上的数字应该是5.

师：为什么是5呢？

生2：刚开始是猜的，后来根据想法继续论证，我发现这9个格子以中间一格为中心形成一个十字架，画出十字架的对角线形成一个米字格，且米字格上的数和为60，而这9个数的和为45，所以关键位置多算的3次和为60-45＝15，因而求出最中间一格的数字为5.

生3：其次，根据题目中要满足每行、每列、每条斜对角线三数之和为15这个条件，中间一格数字是5，所以每行、每列、每一斜对角线剩余两数之和只可以为10.在这9个数中，我发现1与9，2与8，3与7，4与6关于5成对称分布，且它们的和也为10，我就可以将它们填入剩余的8个格子中，从而得出其中的1种填法（如图3）.

教师：刚才这位同学的解法，正确吗？还有不同的填法吗？

图3

学生讨论产生了另外7种填法（如图4～图10），其中，图9就是图1.

图4

图5

图6

图10

图8

图9

图7

案例解读：著名的数学大师波利亚曾在谈论教学法时说过：“我们可以在学生对问题思考前让学生猜想该题的结果或部分结果.为了验证猜想，学生会专注在课堂教学中，主动关注题目，关心课堂进展，他就不会打盹或搞小动作.”这就是说，作为一名数学教师，置身于数学发现学习的过程中，对于一个“新的”数学问题，我们应该带领学生一起猜想、证明，也许此时这个数学理论的形成过程、解决过程并非与数学家们的推出过程一致，甚至可能存在一些偏差，然而，这样的数学教学才更能激活学生的思维，才是数学学习的本质所在.

二、教学反思

1.重视解题回顾，促进学生深刻理解

升入初中，数学的解题思维与小学解题思维发生了较大变化，如果说小学数学教学侧重于形象思维训练，那么初中数学教学则侧重于抽象思维训练.对于刚刚升入初中的学生来说，很多题目他们都不知道怎么“下手”解决，此时，需要我们把思维想给学生听，并确保学生听懂.例如上面的三阶幻方填数题，通过讨论，虽然得出8种满足题目要求的不同填法，但不代表所有同学都掌握了本题的解答要领，更不代表今后每位同学遇到类似的题型可以独立解决，此时挑出几位已经掌握思考方法的同学阐述他们的思考过程、归纳解决此类问题的方法是十分必要的.下面是两个学生的解后反思.

生4：请大家仔细观察一下，不难发现，如果以图3为标准，那么图4可以通过图3绕中心顺时针旋转90°得到，由此可得，在前四幅图中，相邻两幅图中的后一幅都可以由前一幅绕中心顺时针旋转90°得到.

生5：大家可以对照观察一下，我们发现上组解法中的任意一个互换左、右列便可在下组中找到相应的结果，如图3左右列互换便可得到图7，同理，其余三组也有此规律.后来，我们又发现图3与图9，图4与图7，图5与图10，图6与图8，是通过互换上、下行得到的.

案例解读：经过修改后，问题起点低，具有普适性，让不同层次的同学都有思考的时间和空间，每一位同学都可以主动地与原有的知识经验相联系，结合自己的思维特点，积极参与到课堂教学活动中，使得问题与学生已有的认知结构建立实质性联系，变“被动防守”为“主动进攻”，给学生思考问题提供了一种全新的思维模式，为实现神机妙算搭建了一个新平台.

2.用好课例素材，促进学生发现

我们知道，数学既是发现，又是发明.事实上，由于选择了教材上这道幻方填数题，师生围绕这道题开展解题学习占去一个课时，但是在这个过程中，笔者要求学生把1至9这9个数从不同的途径填入相关空格中，在探索解法的过程中完成了一次思维革命.如果此时将原题后半部分要求加进去，将这9个数变为-4～4，又有几种填法呢？有了刚才的经历，此刻，相信绝大部分学生在这种思维模式的指导下，经过思考、交流、猜想、倾听、验证等环节，发现-4～4这9个数对应的可以由1至9这9个数依次减5得到，所以只需将图3～图10中的9个数分别减5，就可以求出8种满足条件的填法.当然，探究出规律后，还可以继续启发学生探究，如果将这9个数同时加同一个数后，能使每一行、每一列、每一条斜对角线上的三数之和相等吗？如果将这9个数分别扩大相同倍数，能使每一行、每一列、每一条斜对角线上的三数之和相等吗？如果将这9个数同时乘方，能使每一行、每一列、每一条斜对角线上的三数之和相等吗？

有的学生很难接受理性、抽象、客观的思维，他们习惯凭借感觉和经验对问题做出判断，拒绝成长.如果每天能接受一点点理性、抽象、客观的思维，在解题的过程中能体会到一点点方法的、思维的、抽象的、客观的、归纳的力量，笔者有理由相信这种教学方法将激发出学生无穷的潜力.

1.严莉.对一份“习题单”式导学案的商榷［J］.中学数学（下），2014（11）.

2.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

4.章建跃.理解数学是教好数学的前提［J］.数学通报，2015（1）.

5.潘龙生.教学，少些一带而过［J］.数学通报，2015（1）.H