有关中点基本图形的分类及辅助线的加法

武汉市光谷实验中学 刘姜涛 康柳燕

1 引言

中点问题在中学阶段的地位举足轻重，与中点密切相关的线段[1]主要有两种：中位线和中线.这两个知识点贯穿整个初中几何，题目难度往往较大，学生解题没有方向.为此，笔者总结了7类有关中点的基本图形及做题方法，以供参考.

2 有关中点的基本图形的分类及解法

7类有关中点的基本图形及做题方法总结如表1：

表1

中位线一般出现在三角形和四边形的图形中，中线则在三角形的题型中经常使用，所以无论是分析图形还是构造辅助线，这两种线段都是我们的重要解题工具.下面展示这两者在具体图形中的妙用.

2.1 角分线+垂直→中位线

图中出现角平分线和一个直角，可以考虑构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得到中点，再连接其它中点得中位线.

图1

略证：延长BE交AC于点D.

AB=AD，BE=DE(三线合一)，

2.2 动点问题中的中位线

在变化中寻找不变是动点问题的基本思路，要确定动点的轨迹关键是找到不变的重要点、起点、终点，其中中点是常用解题工具[2].

基本图形2：如图2，已知P为线段AB上的动点，以AP，BP为边在AB同侧作等边三角形ACP和等边三角形PDB，G为CD中点.求当点P从点A运动到点B时，点G移动路径的长.

图2

略解：延长AC，BD交于点H.

当点P在点A时，CD=AH；当点P在点B时，CD=BH.

∵四边形CHDP是平行四边形，

∴CD与PH互相平分.

∴点G为PH中点.

2.3 三角形中的1个中点

三角形中出现中点，作中位线是常用的辅助线作法之一.

基本图形3：已知点D为线段AB的中点，DE平分△ABC的周长，求线段DE的长度.

方法1提示：如图3，取三角形另一边的中点，连接两个中点构造中位线.

图3

略解：在BC上取中点H,连DH.

根据△EHD中的线段关系求DE.

方法2提示：如图4，将已有线段视作中位线，构造新的三角形.

图4

略解：倍长BE至点H,连AH.

求出AH的长度(三角形线段关系).

2.4四边形中的2个中点

除了三角形，在四边形中也经常需要用到中位线这种辅助线，解题时需要利用中位线进行线段关系的转化.

基本图形4：如图5，已知E为AB的中点，F为CD的中点，寻求EF与AC，BD的关系.

图5

提示：取另一边的中点，分别连接得到两条中位线.

略解：在BC上取中点H，连接HE,HF.

基本图形5：如图6，已知E为AB的中点，点F为CD的中点，寻求EF与AD，BC的关系.

图6

提示：在对角线上取中点.

略解：连AC，取AC的中点H，连EH，FH.

2.5四边形中的4个中点

若四边形中出现多个中点时，将中点连接形成的线段集中在一个三角形中考虑.

基本图形6：如图7，已知点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.

图7

略证：连AC(或BD) .

由HG(中位线) ，

得HG∥EF，HG=EF.

因此，四边形EFGH为平行四边形.

2.6共斜边的直角三角形

中点出现在直角三角形的斜边上时，要注意运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质.

基本图形7：如图8，已知AC⊥AB，DC⊥BD，H为BC的中点，求证：∠AHD=2∠ABD.

图8

提示：公共斜边取中点.

略证：AH=BH=CH=DH.

∠ABD=y-x，

∠AHD=∠AHC-∠DHC=2y-2x

=2(y-x)=2∠ABD.

基本图形8：如图9，已知AC⊥AB，DC⊥BD，H为BC的中点，求证：∠AHD=2∠ABD.

图9

提示：公共斜边取中点.

略证：AH=BH=CH=DH.

∠ABD=x+y，

∠AHD=∠AHC+∠DHC=2x+2y

=2(x+y)=2∠ABD.

2.7 “T”字形

若复杂图形中有一条线段AB及过AB中点C的另一条线段DC，且满足AC=BC=DC，对于这样的“T”字形，常考虑利用中位线，反过来构造三角形.

基本图形9：如图10，C为AB的中点，连接端点A，D并倍长，构造出以CD为中位线的三角形；

图10

或者如图11，连接端点B，D并倍长，构造出以CD为中位线的三角形；

图11

或者如图12，以AB为直角三角形的斜边构造出直角三角形ADB.

图12

3 应用举例

图13

略证：如图14，连DN并延长交AC于点H，连BH.

图14

在△EDN和△CHN中，

∴△EDN≌△CHN(ASA).

∴ED=EA=CH.

易证△CAE≌△BCH(SAS),

∴CE=BH=2MN.

对于例题，还可以用下面三种方法添加辅助线，如图15～17，证明思路与上面类似从略.

图15

图16

图17

4 结束语

本文中给出了7类有关中点基本图形的分类及辅助线的加法及应用.中点问题看似复杂多变，实则掌握了基本图形及其对应解法，便可逐一攻克，让中点问题不再困难.