归纳提炼 转知成慧

陈建

[原题再现]

例（2020·四川·乐山）点[P]是平行四边形[ABCD]的对角线[AC]所在直线上的动点（点[P]不与点[A]，[C]重合），分别过点[A]，[C]向直线[BP]作垂线，垂足分别为点[E]，[F]，点[O]为[AC]的中点. （1）如图1，当点[P]与点[O]重合时，线段[OE]和[OF]的关系是;（2）当点[P]运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立;（3）如图3，点[P]在线段[OA]的延长线上运动，当[∠OEF=30°]时，试探究线段[CF]，[AE]，[OE]之间的关系.

[学情分析]

（1）考查三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性质. 如图1，由AE⊥BD，CF⊥BD，易得AE[?]CF;由点O是AC的中点，易发现△AOE和△COF为“中点8字形全等”，易证△AOE ≌ △COF，即可得出结论.

解：∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°.

∵∠AOE=∠COF，OA=OC，∴△AOE ≌ △COF（AAS），∴OE=OF.

反思：由关键条件AE[?]CF和AC的中点O发现“中点8字形全等”.

（2）考查“中点8字形全等”问题. 与（1）不同，本题中是隐性“中点8字形全等”，需要延长EO交CF于点G，构建全等三角形，易证△AOE ≌ △COG，得OE=OG，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出结论.

解：OE=OF仍然成立. 延长EO交CF于点G，如图4，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE[?]CF，∴∠EAO=∠GCO.

∵点O为AC的中点，∴AO=CO.

∵∠AOE=∠COG，∴△AOE ≌ △COG，∴OE=OG.

∵∠GFE=90°，∴OF=[12]EG=OE.

反思：出现线段AC的中点O，可选取倍长中线法或利用“中点8字形”构造三角形全等.

（3）问可类比（1）（2）两小题利用“中点8字形全等”构造三角形全等解决问题. 先延长EO交FC的延长线于点H，易得△AOE ≌ △COH，得AE=CH，再运用割补法将AE + CF转化为FH，然后证明OE = FH即可. 根据∠OEF=30°，∠HFE=90°，推出FH=[12]EH=OE，即可得证.

解：当点P在线段OA的延长线上时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE=CF+AE.

延长EO交FC的延长线于点H，如图5，

由（2）可知 △AOE ≌ △COH，∴AE=CH，OE=OH.

∵∠OEF=30°，∠HFE=90°，

∴HF=[12]EH=OE，

∴OE=CF+CH=CF+AE.

反思：割补转化法常用于图形的计算和图形之间相等关系的证明，对线段截长补短，对图形截大补小.

[勤于积累]

模型积累：“中点8字形全等”模型，如图6所示.

[A][M][B][B][O][O][C][N][D][①][A][M][P][B][O][C][Q][N][D][②]

图6

模型关键条件：如图6①，AB[?]CD，点O是线段MN的中点.

模型重要结论：如图6②，过点O任意画一条线段，分别交AB，CD于点P，Q，可得△POM ≌ △QON.

“中点8字形全等”模型主要应用于全等三角形，解题时要善于发现8字形，抓住关键条件平行、中点，得到三角形全等的重要结论. 如果图形不完整，可以添加辅助线，构造完整模型后再解题. “中点8字形全等”模型和九年级要学习的“8字形相似”模型较为相似，要注意辨析它们之间的关系. 相同之处：都是8字形，都有平行的条件. 區别之处：“中点8字形全等”模型含有中点的条件，结论是全等;“8字形相似”模型不含有中点的条件，结论是相似. 模型归纳不应仅仅解决一类题型，还要联系前后知识，形成系统的知识结构.

方法积累：1. “中点8字形全等”模型的建立是解决有关中点问题常用的手段.

2. 遇到中点时常常可以倍长中线构造全等三角形来解决问题.

3. 在直角三角形中求解有关边的一半的问题，常常要联想相关定理：①直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半;②直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半.

4. 应用全等三角形和平行四边形的性质和判定方法是解决边、角相等问题的重要途径.

（作者单位：江苏省泰州市明珠实验学校）