中点加中点 构造中位线

吴琼

大连市第十九中学王洪宇老师的直播课《三角形中位线的构造》选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。

观摩了王洪宇老师的直播课，我深受启发. 三角形的中位线定理在几何证明、线段求值、角度分析等方面应用广泛. 在一些几何图形中，有时虽有中点却无三角形的中位线，这时就要深入挖掘隐含条件，适当添加辅助线，以便构造中位线求解.

模型构建

例 如圖1，在△ABC中，AB = AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，连接BE，DE，∠ADE = ∠AED，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点. 求证：FG = FH.

解析：∵∠ADE = ∠AED，∴AD = AE.

∵AB = AC，∴AB - AD = AC - AE，即BD = CE.

∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，

∴FG，FH分别是△EDB，△BCE的中位线，

∴FG =  [12]BD，FH = [12]CE，∴FG = FH.

反思：遇中点找中点，构建中位线. 取两个三角形中一条公共边的中点，可将两个分散的中点构建成两个有联系的三角形的中位线，再利用中位线的平行和相等关系，解决要证的问题.

变式：改变模型中两条相等线段的位置，产生图形变式. 如图2， AB = CD ，F，E，P分别为BD，AC，BC的中点，可得PE = PF.

模型应用

如图3，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB = CD，点E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由.

解析：如图4，取BD的中点P，连接PE，PF，

∵点E，F，P分别是BC，AD，BD的中点，

∴PE[⫽]CD，PE = [12]CD，PF[⫽]AB，PF = [12]AB，

∴∠PEF = ∠OMN，∠PFE = ∠ONM.

∵AB = CD，∴PF = PE，∴∠PEF = ∠PFE，

∴∠OMN = ∠ONM，∴OM = ON，

∴△OMN是等腰三角形.

变式演练

如图5，在△ABC中，AC > AB，点D在AC上，AB = CD，点E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC = 60°，连接GD，判断△AGD的形状，并说明理由.

解析：如图6，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，

∵F是AD的中点，∴HF[⫽]AB，HF = [12]AB.

同理可得HE[⫽]CD，HE = [12]CD，∴∠EFC = ∠HEF.

∵AB = CD，∴HF = HE，∴∠1 = ∠HFE.

∵∠EFC = 60°，∴∠HEF = 60°，∴△HEF是等边三角形，

∴∠HEF = ∠HFE = 60°，∴∠1 = ∠EFC = ∠AFG = 60°，∴△AGF是等边三角形.

∵AF = FD，∴GF = FD，∴∠FGD = ∠FDG = 30°，∴∠AGD = 90°，

∴△AGD是直角三角形.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：5分钟

如图7，在△ABC中，点D为AC的中点，延长CA至E，使AE = BC，连接BE，点F为BE的中点，连接FD并延长交BC的延长线于点G. （1）求证：CD = CG；（2）若∠ACB = 60°，BC = 6，求FD的长. （答案见第33页）

（作者单位：大连市第三十七中学）