与反比例函数有关的一个结论及应用

秦会龙

在反比例函数有关的习题中，常出现与面积、反比例系数k有关的问题.笔者探究发现，有一类问题可得到一般性结论，本文就探究这个结论及应用.

引例

如图1，反比例函数y=kx（k>0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为.（2014年遵义）

解析设E的坐标为（a，ka），则B点的坐标为（2a，ka），F点的坐标为（2a，k2a），所以BF=ka-k2a=k2a，因此S△BEF=12·a·k2a=k4，故k4=2，k=8.

发现结论通过上述的探究发现：

（1）从反比例函数上两点分别向两坐标轴上做垂线，构成矩形OABC，若其中一点是矩形边的中点，则另一点是矩形另一边的中点.

（2）若反比例函数y=kx（k>0），如图1，则矩形OABC的面积为2k，四个三角形的面积分别为S△OAE=S△OCF=k2，S△BEF=k4，S△OEF=3k4

应用举例.

1直接应用

例1（2013年乌鲁木齐）如图2，反比例函数y=3x（x>0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为.

解析根据上述结论可得三角形OEF的面积为3k4=94.

2转化应用

例2（2013年日照）如图3，直线AB交双曲线y=kx（x>0）于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC，S△OAC=12，则k的值为.

解析过点A作DE∥x轴，延长MB交DE于点E，因为BM⊥x轴，DE∥x轴，所以∠E=∠BMC，因为∠ABE=∠CBM，又B是AC的中点，所以AB=CB，所以△ABE≌△CBM.所以S△ABE=S△MBC，所以由上述结论得S△OAC=S四边形OAEM=S矩形ODEM-S△ODA=2k-k2=3k2=12，所以k=8.

例3（2014年孝感）如图4，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=kx（x>0）经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D.若S△OCD=9，则S△OBD的值为.

解析过C作EF∥x轴，因为∠CFO=∠CEA=90°，∠ACE=∠OCF，又C是OA的中点，所以CA=CO，所以△ACE≌△OCF.所以C是EF的中点，由上述结论可得三角形OCD的面积等于3k4=9，从而k=12，所以三角形OBD的面积等于k2=122=6.

例4（2014年临沂）如图5，反比例函数y=4x的图象经过直角三角形OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为.

解析过A作AC∥x轴，过D作EF∥x轴，则四边形ABOC的面积为4，因为D是OA的中点，容易推出F是OC的中点，D是EF的中点，所以四边形OBEF的面积为2，设过点D的反比例函数的解析式为y=kx，根据上述结论有四边形OBEF的面积为2k=2，从而k=1，所以y=1x.

例5（2013年内江）如图6，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为.

解析过M作GF∥y轴，由已知容易得到△AFM≌△CGM，所以M是FG的中点，根据上述结论可得矩形OFGC的面积为2k，因为M是OB的中点，所以可得矩形OABC的面积为4k，所以四边形ODBE的面积为4k-k2-k2=3k=9，所以k=3.

例6（2013年泸州）如图7，已知函数y=43x与反比例函数y=kx（x>0）的图象交于点A.将y=43x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=kx交于点B，与x轴交于点C.

（1）求点C的坐标；

（2）若OACB=2，求反比例函数的解析式.

解析过A作DG∥x轴，过B作GF∥y轴，作AE⊥x轴，则△AOE∽△BCF，由于OACB=2，所以点B为FG的中点，根据上述结论A为DG的中点，设A的横坐标为a，则OE=a，CF=12a，OF=2a，OC=92，由92+12a=2a，得a=3，故A（3，4）.从而可得k=12.