巧借周期性,妙解数列题

◇ 山东 刘 丽

数列是一种特殊的函数,所以一些数列问题中也存在着包括周期性在内的和函数基本性质相关的问题．有些数列问题,表面上看似与周期性无关,实际上隐含着周期性,若不加以分析,很难找到求解策略,而一旦找到数列中的周期性,问题往往便迎刃而解了．本文结合实例论述巧借周期性,妙解数列题．

1 求解和式递推数列中的项

例1在数列{an}中,a1＝1,a2＝3,对所有自然数n都有an＋2＝|an＋1|－an,则a2019的值为_______．

解析

由题意和递推关系式an＋2＝|an＋1|－an,结合a1＝1,a2＝3,易求得a3＝2,a4＝－1,a5＝－1,a6＝2,a7＝3,a8＝1,a9＝－2,a10＝1,a11＝3,a12＝2,…,于是归纳可知数列{an}具有周期性,其周期为9,所以a2019＝a224×9＋3＝a3＝2．

点评

利用条件中的和式递推关系式加以归纳处理,这是破解此类和式递推数列周期性问题的技巧．根据数列的和式递推关系式进行逐个推导,求解难度比较大,计算比较烦琐,有时还无从下手．而通过递推关系式分析后结合相应的规律归纳其周期性,一般中见特殊,可使问题快速获解．

2 求解分式递推数列中的项

例2已知数列{an}满足a1＝1,a2＝2,且对任何自然数n都有,则a2019的值为_________．

解析

故数列{an}是以4为周期的数列,结合a1＝1,a2＝2,可得,所以

点评

利用条件中的分式递推关系式加以迭代处理,这是破解此类分式递推数列周期性的技巧．在采用迭代法时要注意的是如何确定迭代的分式解析式．

3 求解递推数列的前n项和

例3已知数列{an}满足a1＝a2＝1,a3＝2,且对任何自然数n都有anan＋1an＋2≠1,又anan＋1an＋2·an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2019＝________．

解析

由于anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,则有a1a2a3a4＝a1＋a2＋a3＋a4,结合a1＝a2＝1,a3＝2,解得a4＝4,则a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＋4＝8．

又由anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3,得an＋1an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4,以上两式对应相减,可得an＋1an＋2an＋3(an－an＋4)＝an－an＋4,整理得(an＋1an＋2an＋3－1)(an－an＋4)＝0,而对任何自然数n都有anan＋1an＋2≠1,所以anan＋4＝0,即an＋4＝an,故数列{an}是以4为周期的数列,那么S2019＝(a1＋a2＋a3＋a4)×505－a2020＝8×505－4＝4036．

点评

利用递推公式一项一项地往后推导,再加以求和,解答过程比较繁杂且计算量明显较大．通过分析数列的递推公式,确定周期规律,充分利用函数与方程的性质与思想,结合周期性来解决较为简捷．

4 求解创新定义下数列的前n项和

例4在数列{an}中,如果对于任意n∈N*,都有anan＋1an＋2＝k(k为不为零的常数),那么这个数列称为“等积数列”,其中常数k称为这个数列的公积．已知数列{an}是一个“等积数列”,且满足a1＝1,a2＝2,公积为8,则数列{an}前2021项和S2021的值为________．

解析根据创新定义可知anan＋1an＋2＝k,则有an＋1an＋2an＋3＝k,两式对应作商,得1,即an＋3＝an,故数列{an}是以3为周期的数列,结合a1＝1,a2＝2,k＝8,可得a3＝4,所以S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(a1＋a2＋a3)×673＋a1＋a2＝7×673＋1＋2＝4714．

点评

本题求解的关键是抓住“等积数列”的创新定义,对两个数列关系式作商并整理得到an＋3＝an,进而确定数列的周期．求解此类创新定义问题,要正确理解并掌握条件中所叙述的创新定义的实质,将其转化为相关的数列关系式,进而加以转化与应用．

5 求解数列的前n项积

例5已知数列{an}满足a1＝3,且满足an＋1＝,则数列{an}前2021项的积a1·a2·a3·…·a2021的值为________．

解析

令an＝tanxn,则有

故数列{an}是以4为周期的数列,而结合递推关系可得,则a·a·a·123a4＝1,所以数列{an}前2021项的积a1·a2·a3·…·a2021＝a2021＝a1＝3．

点评

根据数列的递推关系式,联想到三角函数的正切公式,结合三角函数的相关知识来确定数列的周期问题,在此基础上确定数列的前n项积．

在破解涉及周期性的数列问题时,利用归纳法、迭代法、加减相消法、三角函数法、创新定义法等来巧妙转化,进而确定数列的周期性,为破解数列中的项、前n项和或积等问题提供条件．破解此类问题的关键是从题目条件中挖掘相应的条件,找到撬动数列周期的支点,从而采用切实可行的方法加以剖析．