内切圆
- 椭圆中两类三角形的内切圆的性质探究
ΔPF1F2的内切圆圆心为I与ΔPF1F2相切于点D,E,H,PI与x轴交于点M(xM,yM),设点P(x0,y0),点I的坐标为(xI,yI),则有如下性质:2. 椭圆内一类三角形的性质探究如图2,椭圆C的标准方程为= 1(a＞b＞0),F1,F2分别为椭圆的左右焦点,直线PQ1经过点F1且与椭圆交于P,Q1两点,ΔPQ1F2的内切圆圆心为I1, 半径为r1, 直线PQ2经过点F2且与椭圆交于P,Q2两点, ΔPQ2F1的内切圆圆心为I2, 半径为r2,
中学数学研究(广东) 2023年15期2023-09-16
- 三角形半角正切立方和的几何不等式的加强
别为△ABC的内切圆半径、外接圆半径与半周长,则有为了证明不等式(2)，我们先利用r-s-R法给出几个关于三角形半角正切的公式.引理1 设r,R,s分别为其内切圆半径、外接圆半径与半周长,则有16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).其中∑,∏分别表示循环和与循环积.公式(4)是熟知的半角正切公式.不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右边不等式就是著名的Kooi不等式.
中学数学研究(江西) 2023年3期2023-03-11
- 缜密思维 严谨答题
形形状；错解；内切圆；严谨性中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（202301-0050-03收稿日期：2022-10-05作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.数学的灵活与严谨，时刻体现在知识的运用和解决问题中，若轻视数学的严谨性，往往在解决数学问题时，会导致解答的过程失之严密完整，而产生遗漏甚至错误的结果.下面以一道判断三角形形状的问题为例，说明数学解答严谨的重要性.
数理化解题研究·高中版 2023年1期2023-02-09
- Mathematical Reflections 的S357 号问题的加强
外接圆半径; 内切圆半径; 高线1 问题提出蒂图·安德雷斯库[1]的Mathematical Reflections (2014-2015)中提供了如下几何不等式:Mathematical Reflections S357问题在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分别为对应边上的高,r为△ABC的内切圆半径, 则有:定理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分别为对应边上的高,r为△ABC的内切圆
中学数学教学 2022年5期2022-11-09
- 美国数学月刊第12154 号问题的加强与反向不等式
,外接圆半径与内切圆半径,则有其中∑ 表示循环和.本文给出不等式①的加强及反向不等式:定理2设ra、rb、rc、R、r分别是△ABC的顶点A、B、C所对的旁切圆半径,外接圆半径与内切圆半径,则有2 几个引理为了证明定理2,我们给出一些关于三角形的各种半径和半周长的恒等式与不等式:引理1设ra、rb、rc、R、r、s分别是△ABC的顶点A、B、C所对的旁切圆半径,外接圆半径，内切圆半径与半周长,则有其中∏f(a,b,c)表示循环积.证明③～⑥是熟知的结论.令
中学数学教学 2022年4期2022-08-28
- 对Weitzenbock不等式的一个猜想式的探究
、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积分别为a,b,c,R,r,s，△，∑表示循环求和.文[1]作者已得如下结论：安振平先生在文[2]中提出了四个待证问题，其中待证问题6如下：本文对上述待证问题6进行探讨，获得如下结论：1、当R=2r时，待证问题6显然成立;综上所述，有如下结论：1、所有正三角形，待证问题6成立.4、待证问题6转化为：寻求满足待证问题6的非正三角形内切圆半径的最小值.
中学数学研究(江西) 2022年8期2022-08-09
- 一道习题的四种解法
P是△ABC的内切圆圆心.因为BP平分∠ABC，所以∠1=∠2.又∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，所以∠3=∠4.同理∠5=∠6.所以∠5+∠3=∠6+∠4，在四边形ADPE中，∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，所以∠A+∠DPE=360°-90°-90°=180°，所以∠DPE=180°-∠A=180°-40°=140°，又因为∠DPE+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，所以∠3+∠4+∠5+∠6=360°-∠DPE=360°-140
数理天地(初中版) 2022年3期2022-07-24
- 七种方法求解直线方程
程；角平分线；内切圆；正切中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0031-02收稿日期：2022-07-05作者简介：卢会玉（1981.7-），女，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.高考对直线方程的考查也是比較常见，但是一般都是选择或者填空题.有时用相关的平面几何的知识解决问题是非常快捷的，有时用适合题目特点的一些方法也是比较合适.本文对一道涉及角平分线的题进行了深入的分析和探究，用七种方法揭
数理化解题研究·高中版 2022年10期2022-05-30
- 挖掘知识关联整合教材设计构建学习生态链
”章节中三角形内切圆部分的例、习题整合为例进行阐述.一、题例分析，明确题目价值义务教育教科书（人教版）《数学》九年级（上册）第二十四章24.2.2直线和圆的位置关系，讲解了切线长定理和三角形的内心相关内容.教材用三角形内切圆的圆心定义了三角形的内心，即三角形内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点.在教学过程中，教师既要让学生对照图形理解三角形内切圆的概念，又要引导他们把三角形的内心和三角形的外心、内切圆和外接圆进行比较，让学生真正理解“切”和“接”的含义.在
云南教育·中学教师 2022年4期2022-05-29
- 一道三角不等式的探讨
，外接圆半径和内切圆半径分别为R,r，求证：为了证明不等式②和③，先给出四个引理.引理1[1]在△ABC中，有∑ab=s2+4Rr+r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)，∑a3=2s(s2-6Rr-3r2)，∑a4=2(s2-4Rr-r2)2-8s2r2.利用引理1和abc=4Rrs，可得(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)=(2s+a)(2s+b)(2s+c)=8s3+4s2(a+b+c)+2s(ab+bc+ca)+abc=16s3+2s(
中学数学研究(江西) 2022年4期2022-04-11
- 一道预赛题的解法及拓广
离心率;焦点;内切圆中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）04-0008-051 试题呈现题目1 （2021年5月全国高中数学联赛福建省预赛第8题）已知离心率为62的双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，R，r分别为△PF1F2的外接圆、内切圆半径.若∠F1PF2=60°，则Rr=.2 解法探究由于题目1涉及双曲线焦点三角形的内切圆半径，比较自然地会想到
数理化解题研究·高中版 2022年2期2022-03-27
- 三角形内切圆的若干结论在高中数学的应用
晓波涉及三角形内切圆的题目在高中阶段是常见题型之一,该类题目往往能很好的体现了数学的动态与对称美.该类问题往往在解三角形、圆锥曲线、向量等知识点中来考查学生.然而,该类题目往往会让学生感觉比较头痛,无从下手.究其原因在于学生对内切圆的相关知识缺乏一个系统的有效的提炼与总结.下面笔者给出三角形内切圆相关的几个结论及其应用,力求让读者在解决此类题目时有清晰的思路和有效的方法.一、等面积二、切线长相等定理三、角度关系四、面积关系五、升华与总结
中学数学研究(广东) 2022年1期2022-03-14
- 一道预赛题的解法及拓广
线焦点三角形的内切圆半径,比较自然地会想到从面积出发求解.解法1 设|PF1|=m,|PF2|=n,双曲线的半焦距为c,则由余弦定理,知4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn.即(m+n)2=4c2+3mn.所以mn=4b2.解法2 根据对称性不妨设P(x0,y0)在第一象限,双曲线的半焦距为c,则在△PF1F2中由正弦定理知图1解法3 如图1,根据对称性不妨设点P在双曲线的右支上,△PF1F2的内切圆圆心为I,圆I依次切PF1,PF
数理化解题研究 2022年4期2022-03-12
- 三角形内切圆的方程的求解策略
探究了求三角形内切圆的方程的求解策略.关键词： 三角形;内切圆;角平分线;方程;策略中图分类号： G632 文獻标识码： A 文章编号： 1008-0333（2021）16-0058-03本文给出求解三角形内切圆方程的四种方法，何时用哪种方法求解速度快？没有规律可循，可以说很灵活，但是只要同学们认真领悟并掌握这五种方法，解决三角形内切圆方程的问题就没有问题了. 参考文献： [1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开
数理化解题研究·高中版 2021年6期2021-09-10
- 三角形内切圆的方程的求解策略
的定义和三角形内切圆的定义.由三角形内角平分线的定义知，三角形内角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.由三角形内切圆的定义知，三角形中两个内角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，内切圆的圆心到三角形的一条边的距离是这个内切圆的半径.方法3(等面积法)：不妨取直线l的方程为3x-4y+3=0，不妨设点A在点B的下方.设△BDK的内切圆的半径为r，则我们知道，若已知一个三角形的三边的长，都可以用再解1求出其面积，在这里是运用余弦定理求cos∠BKD
数理化解题研究 2021年16期2021-08-05
- 三角形周长为定值的内切圆半径最值问题探究*
若求∆ABC的内切圆半径r的最大值.探求结论往往明确解题方向.注意到的对称性, 猜想A=B时内切圆半径最大, 此时A=B=C=如图1所示, 有r=ID=图1解法1记∆ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,又S∆ABC=(a+b+c)r=故所以∆ABC的内切圆半径的最大值为解法2由记∆ABC的内切圆I切边AB,BC,CA于点D,E,F,记AD=DF=x,BD=BE=y,CE=CF=z.图2如图2 所示,则x+y+则依题意可知S∆ABC=(a+b+c)r=
中学数学研究(广东) 2021年3期2021-03-17
- 一个分式型Weitzenbock不等式的九层隔离①
的边长、面积、内切圆半径与外接圆半径，则设a,b,c,S,p分别是△ABC的边长、面积和半周长，则文[3]给出一个加强不等式：设a,b,c,S,r,R分别是△ABC的边长、面积、内切圆半径与外接圆半径，则文[4]刊出一个拓展不等式：设a,b,c,S,p分别是△ABC的边长、面积、半周长，pa=p-a，pb=p-b,pc=p-c，则文[5]进一步给出如下加强不等式：≤∑a2-∑(a-b)2定理设a,b,c,S,r,R,p分别是△ABC的边长、面积、内切圆半径
数学通报 2020年8期2020-09-24
- 对Garfunkel-Bankoff不等式的探究
、外接圆半径和内切圆半径，则有2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.②上世纪80年代末，浙江宁波大学陈计和王振两位老师把它介绍到国内，引发了高度关注.陈计、王振、黄汉生、王文正、简超、汤茂林等老师给出过这个不等式的不同证明方法[3]-[7].1991年，陶平生老师给出了不等式①的如下等价形式：[8]命题3在△ABC中，有③2019年，安振平老师给出了Garfunkel-Bankoff不等式的一个类似：[9]命题4在△ABC中，R，r分别表示其外接圆半径和内
数学通报 2020年6期2020-08-01
- 一道平几题的变式与类比
1,ΔABC的内切圆的圆心为O，BC边的切点为D，DE为内切圆的直径，连AE并延长，交BC于F，则BF=DC.文献[1]中给出了8种详尽的解法，其中有平几法、三角法、解析法等等.本文旨在研究它的变式与类比，将其推广到圆锥曲线中，并用解析法给予证明，与大家分享.变式(第十届中国香港数学奥林匹克)设F是ΔABC边BC上一点，且满足AB+BF=AC+CF，线段AF与ΔABC的内切圆交于点E,Y，且E距点A更近一些，ΔABC的内切圆与边BC切于点D.证明：(1)D
中学数学研究(江西) 2020年3期2020-05-13
- 三角形的内心在圆锥曲线中的应用举例
求解.评析借助内切圆半径公式,结合椭圆性质求解,很快得到答案.图2解析如图2所示,设△F1PF2的内切圆与该三角形的三边分别相切于点M,N,K.不妨设F1M=F1K=x,F2M=F2N=z,PK=PN=y.评析借助内切圆与三角形的几何性质,结合题目条件r+c=a,得到PF1⊥PQ,这是解决本道试题的关键.评析本题涉及到重心与内心,准确地掌握好重心和内心的相关性质是解决本道试题的关键.图3评析借助内切圆半径公式,联立直线和椭圆方程求解.评析借助内切圆半径公式
数理化解题研究 2020年13期2020-05-07
- 圆周率的一个新公式
过对等边三角形内切圆进行分割，利用高等数学的极限思想及一阶二次递归数列得到圆周率的一个新的计算公式.新公式相比于已有的圆周率计算公式，不仅在精度上而且在计算时间上都有很大的优势.当循环次数不超过20时，可得到小数点后12位;当循环次数等于21时，可得到小数点后一千万位.本方法可以作为计算圆周率的一种简单的、精确度高的方法.【关键词】圆周率;内切圆;极限;一阶二次递归数列一、引言圆周率用第十六个希腊字母π表示，是精确计算圆的周长与面积、球的体积等几何图形的关
数学学习与研究 2020年26期2020-03-24
- 三角形内心(内切圆)在椭圆中的应用举隅
求解.评析借助内切圆半径公式,结合椭圆性质求解,很快得到答案.图2解析如图2所示,设△F1PF2的内切圆与该三角形的三边分别相切于点M,N,K.不妨设F1M=F1K=x,F2M=F2N=z,PK=PN=y.评析借助内切圆与三角形的几何性质,结合题目条件r+c=a,得到PF1⊥PQ,这是解决本道试题的关键.评析本题涉及到重心与内心,准确地掌握好重心和内心的相关性质是解决本道试题的关键.图3评析借助内切圆半径公式,联立直线和椭圆方程求解.评析借助内切圆半径公式
数理化解题研究 2020年4期2020-03-02
- 一道平面几何试题的探析
三角形的内心;内切圆;线段之比作者简介：刘道祥（1987-），男，山东东阿人，教育硕士，中学二级教师，研究方向：中学数学教育教学;王吉利（1990-），男，甘肃庄浪人，本科，中学二级教师，研究方向：中学数学教育教学.对于求两条线段之比，初中阶段常用的解题方法是：求出两条线段的长度，然后求得两条线段之比;或者是通过已知条件，得到一个等式，通过对等式的化简，从而直接得到两条线段之比. 本文以一几何试题为例，探讨解决有关三角形内心的线段之比问题.1 试题呈现题目
理科考试研究·初中 2019年10期2019-11-12
- 欧拉不等式的一个加强的改进
外接圆半径R，内切圆半径r，则(∑表示循环和)(1)文[2]将定理1改进为：定理2在三角形ABC中，外接圆半径R，内切圆半径r，则(2)我们发现不等式成立，这是由于故设想将不等式(2)改进为定理3在三角形ABC中，外接圆半径R，内切圆半径r，则(3)那么记三角形ABC的内心为I，令AB=AC,BC→0，注12(R+r)≥IA+IB+IC.(4)同理有那么就得出不等式(4)的一个等价结论：(5)注2运用上面证明中的基本数学事实，可以简捷地证明一些不等式，如：
数学通报 2019年9期2019-10-22
- Finsler-Hadwiger型不等式推广的再研究
、外接圆半径、内切圆半径，则(1)事实上，1998年武钢高三学生李磊应用Kooi不等式[4]证明了不等式(1)[5]，文[6]已收录不等式(1).本文对不等式(1)进行研讨，得到如下不等式：定理3设a,b,c,S,R,r分别是△ABC的边长、面积、外接圆半径、内切圆半径，则(2)2 两个引理为证明不等式(2)，先给出两个引理引理1(Blundon不等式)[4]设a,b,c,s,R,r分别是△ABC的边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径，则其中等号成立当且仅
数学通报 2019年7期2019-08-29
- 欧拉不等式一个加强的再改进
、c，外接圆和内切圆半径分别为R、r，则有著名的欧拉不等式R≥2r.文[1]中建立了如下三角形式的加强.定理1 设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则有(Σ表示循环和)①当且仅当△ABC为正三角形时取等号.定理2 设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则有②当且仅当△ABC为正三角形时取等号.r(R-2r)(400R3-2452R2r+4243Rr2-1230r3)≥0③由于R≥2r，且
中学数学教学 2019年3期2019-06-21
- “ 圆 ”源不断
O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F。若BD=6，AD=4，求⊙O的半径r。图4【解析】连接OE、OF，可得四边形OECF是正方形，设OE=OF=CE=CF=r。由切线长定理可得 BD=BE=6，AD=AF=4，则 BC=6+r，AC=4+r，再根据勾股定理，可得（6+r）2+（4+r）2=102，整理得r2+10r-24=0，解得r=2或-12（不合题意，舍去）。【点评】本题是教材中的一个习题，图形的基本框架是直角三角形内切圆，主要考查了切线长定理
初中生世界 2019年19期2019-05-25
- 欧拉不等式一个三角形式的类比
,c，外接圆和内切圆半径分别为R,r，则有著名的欧拉不等式R≥2r，文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式：定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径，则有(∑表示循环和)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.文[2]给出了欧拉不等式的一个三角形式的类似：定理2设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径，则有(∑表示循环和)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.2 构建新的欧拉三角不等式定理3设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径，则有(∑表示循环和)当且
数学通报 2018年12期2019-01-16
- 欧拉不等式的一个加强的改进
外接圆半径R与内切圆半径r的著名不等式R≥2r的隔离、加强与推广研究精彩纷呈.文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链，文[2]建立了欧拉不等式的如下三角形式的加强不等式.定理1设R,r分别为△ABC的外接圆半径与内切圆半径，则有(∑表示循环和)(1)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.文[3]将不等式(1)加强为：定理2设R,r分别为△ABC的外接圆半径与内切圆半径，则(2)类比不等式(2)，文[3]得到欧拉不等式的如下三角形式的加强式：定理3设R,
数学通报 2018年2期2018-07-14
- Finsler-Hadwiger型不等式的再加强
、外接圆半径和内切圆半径，则(3)最近，郭要红、刘其右两位老师在文[4]中对(3)式右端的不等式进行了加强，得到定理4设a,b,c,△,R,r分别是△ABC的边长、面积、外接圆半径和内切圆半径，则∑a2-∑(a-b)2(4)受文[4]启发，笔者对(3)式左端的不等式也进行了加强，得到如下结果：定理5设a,b,c,△,R,r分别是△ABC的边长、面积、外接圆半径和内切圆半径，则∑a2-∑(a-b)2(5)2 两个引理为证明不等式(5)，先给出两个引理．引理1
数学通报 2018年3期2018-07-14
- 初中三角形内切圆的教学应用研究
沈小福三角形内切圆是指与三角形三边相切的特殊圆.在初中阶段几何知识点的教学实践中，有关三角形内切圆的教学是一大重点，同时也是难点所在.内切圆与三角形形状、三边以及面积等有密切关系，学生必须熟知相关理论，并掌握该知识点的解题方法，从而促进三角形问题求解能力的提高.以下即结合相关教学实例，就初中阶段三角形内切圆在教学中的具体应用与方法进行分析.一、三角形内切圆半径求法在面积法中的应用面积法是初中阶段平面几何计算中非常重要的方法之一.在一些平面几何题目的求解中，
数学学习与研究 2017年21期2018-01-15
- 欧拉不等式的一个加强的改进及其类似
,c，外接圆和内切圆半径分别为R,r，则有不等式R≥2r.上述不等式是数学家欧拉于1765年建立，该不等式具有简单而不平凡的特点，关于它的各种加强、隔离和推广的研究从未间断过. 文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链，文[2]则建立了欧拉不等式的如下三角形式的加强不等式定理1设R,r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则有(Σ表示循环和)(1)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.(2)下面给出式(2)的证明.由于原本到此，对式(1)的探究可以暂告一个
数学通报 2017年2期2017-12-24
- 三圆两两外切的空隙圆
2）△ABC的内切圆与边BC，CA，AB，分别切于点D，E，F。（3）△ABC的内切圆的半径R= 。 （2）证明（1）△ABC的三边长分别为AB=a+b，BC=b+c，CA=c+a，半周长p= （AB+BC+CA）=a+b+c，由三角形面积的海伦公式得= = 。（2）设△ABC的内切圆的圆心为O，⊙O切边BC，CA，AB于L，M，N.由切线性质得AM=AN，BN=BL，CL=CM，而且AM+BN=AN+BN=a+bBN+CL=BL+CL=b+cCL+AM=
东方教育 2016年23期2017-04-07
- 浅议焦点三角形的内切圆
议焦点三角形的内切圆◇ 北京 岳昌庆如图1所示,设△ABC内切圆I分别与AB、BC、CA相切于D、E、F,设BC=a,AC=b,BA=c.由初中平面几何知识可得图1本文中的焦点三角形指椭圆或双曲线上一点P与2焦点F1、F2所组成的△PF1F2.1 双曲线的焦点三角形图2又|F1O|=c,所以|OE|=a,即E与A2重合.下面4个命题① △PF1F2内切圆的圆心必在直线x=a上;② △PF1F2内切圆的圆心必在直线x=b上;③ △PF1F2内切圆的圆心必在直
高中数理化 2016年21期2017-01-03
- 一个欧拉不等式加强猜想的证明
Δ ，外接圆和内切圆半径分别为 R,r ，则有最后提出如下猜想1设 ΔABC 的三边为 a,b,c ，面积为 Δ ，外接圆和内切圆半径分别为 R,r ，则有经探讨发现，(3)式成立.f(16Rr-5r2)=400R3r2-1312R2r3+1168Rr4-288r5=16r2(R-2r)(25R2-32Rr+9r2)=16r2(R-2r)[(9(R2+r2)+16R(R-2r)]≥0.当R=8r 时,R-8r=0,f(s2)=1056r2s2>0.当2r≤
中学数学研究(江西) 2016年6期2016-08-25
- 一道奥数竞赛题的推广*
方法.关键词：内切圆；导数；泰勒中值定理(第3届IMO试题)笔者将这一不等式加以推广，证明了以下2个优美的不等式．定理1在△ABC中，记a，b，c为其边长，S为其面积，k为任意给定的正整数，则当且仅当a=b=c时，不等式取到等号．显然，当k=2时，该不等式即为例1中的不等式．定理2在存在内切圆的凸n边形中，设a1,a2,…,an为其各边长，S为其面积，k为任意给定的正整数，则当且仅当a1=a2=…=an时，不等式取到等号．为了证明上述2个定理，先证明以下3
中学教研(数学) 2016年7期2016-07-14
- 众里寻他千百度——对内含两圆切接三角形存在性的探索
即等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆．笔者在教授了三角形的内切圆的新课后，在课后练习中碰到了一个习题：若△ABC的内切圆和外接圆是2个同心圆，则△ABC一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形因为等边三角形内切圆与外接圆是同心圆，所以根据直觉答案应选A．由于三角形的内心在三角形的内部，而直角三角形的外心在其斜边的中点，不可能与三角形内部的内心重合；钝角三角形的外心在三角形的外部，也不可能与三角形的内心重合；等腰三角形包括等腰直角三
中学教研(数学) 2015年10期2016-01-06
- 抛物线内切伴随圆族的方程及性质
一类伴随圆——内切圆族的方程和性质.在此基础上，笔者对抛物线y2=2px(p＞0)的内切伴随圆族的方程与性质进行了进一步的探讨，得到了一些结论.1 相关定义1.1 内切圆在抛物线的内部，与抛物线有且只有一个交点的圆，叫做抛物线的内切圆(图1).1.2 内切圆族与抛物线内切，且具有共性的一族圆称为抛物线的内切圆族(图1).2 相切于一点的内切圆族图1 内切圆与内切圆族图2 引理1内切圆族引理1［1］设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，设M(x0，y0)
长春师范大学学报 2015年8期2015-12-29
- “圆”中的实用结论与公式
为42，求它的内切圆的半径.【解析】如图6，连接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通过这些辅助线，我们可以把原△ABC的面积分成△ABO，△BOC，△AOC三个三角形面积之和）.设△ABC内切圆半径为r，原△ABC的面积为S，周长为C.答：内切圆半径为4.【点评】其实这种方法也可以推广到任意三角形中，我们可以把它当作求一般三角形内切圆半径的公式，即r=（其中S表示三角形面积，C表示三角形周长，r表示三角形的内切圆半径）.在求直角三角形内切圆半径时我们往往
初中生世界·九年级 2015年10期2015-09-10
- 正五边形的常见绘制方法
的外接圆直径、内切圆直径、边长等不同条件时的正五边形的绘制方法。关键词：正五边形；内切圆；外接圆；边长由于正五边形具有一定的实用性和趣味性，在高等职业教育中，常把正五边形的绘制作为一个教学内容，来训练学生的几何图形绘制能力和综合制作能力。综观各种教材及实际生产中关于正五边形的绘制，可分为下述三种方法：1 已知正五边形外接圆直径来绘制正五边形已知正五边形的外接圆直径，来绘制五边形，实质上就是要根据作图法来求出该正五边形的边长，求出边长后，在已知外接圆周上按该
卷宗 2015年8期2015-08-28
- 欧拉不等式的推广
外接圆半径R与内切圆半径r之间关系的著名不等式：R≥2r，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.由于该不等式具有简单而不平凡的特点，所以至今仍然在几何不等式领域里保持着高水平的地位，关于它的各种加强和推广的研究一直是几何不等式研究的热点，笔者在研究三角形内部任意一点到各边的距离时得到了欧拉不等式的如下推广.由上述证明过程不难看出，当且仅当△ABC为正三角形并且点P为△ABC的中心时等号成立.特别地，当点P为△ABC的内心时，x=y=z=r（r为△ABC的内
中学数学杂志(高中版) 2015年3期2015-05-28
- 研究习题 提炼方法
是48，求它的内切圆的半径.解：设内切圆的圆心为O，半径为r，与△ABC三边的切点依次为D、E、F，连 接AO、BO、CO、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，S△ABC=S△ABO+S△BCO+SACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. ∵△ABC的周长是24，面积是48，∴AB+BC+AC=24，S△ABC=48，∴r×24=48，r=4.一般地，应用上述方法，可以得到结论：已知△ABC的
初中生世界·九年级 2014年10期2014-10-29
- 一道高考压轴题的平面几何解法
00875)有内切圆的等腰梯形是中考命题的热点之一，该知识点在高中阶段的应用背景一般认为是圆台内切球的轴截面．虽然新课标中仍有“旋转体与多面体的切接问题”的相关要求，但实际上，圆台内切球已不再作为明确的要求了．本文给出这一知识点在抛物线中的应用．众所周知，等腰梯形不一定都有内切圆．只有满足“内切圆的直径为等腰梯形上、下底边长的等比中项”这一条件时，等腰梯形才有内切圆．如图1，在等腰梯形AB1C1D中有内切圆O，但在等腰梯形ABCD中不存在内切圆．图1图2如
中学教研(数学) 2012年9期2012-11-20
- 三角形内切圆的几个性质及应用
081)三角形内切圆的几个性质及应用●沈文选(湖南师范大学数学奥林匹克研究所 湖南长沙 410081)本文将三角形内切圆中的几个有趣结论作为性质介绍如下.证明过程略.性质2设△ABC内切圆的圆心为I，△IBC的外接圆分别和射线AB，AC交于点D，E，则DE与⊙I相切.图1 图2证明显然D，B，I，E，C五点共圆.对于图1，有∠IDB=∠ICB,∠IDE=∠ICE.而∠ICB=∠ICE,于是∠IDB=∠IDE.由于AD与⊙I相切，由对称性知DE也与⊙I相切.
中学教研(数学) 2011年5期2011-11-21
- 再谈三角形内切圆的几个性质及应用
1)再谈三角形内切圆的几个性质及应用●沈文选 (湖南师范大学数学奥林匹克研究所 湖南长沙 410081)笔者在文献［1］中介绍了三角形内切圆的几个性质及应用，以下是笔者再次给出的几个性质及应用．性质7设△ABC的内切圆分别切边BC，CA，AB于点D，E，F，记以A为圆心，AE为半圆的圆为W，直线DE交圆W于点G，点H在圆W上，则GH为圆W的直径的充要条件是H，F，D三点共线．证明如图1，注意到△AEG和△CED均为等腰三角形，且底角相等，则知其顶角相等，即
中学教研(数学) 2011年7期2011-02-02
- sin+sin+sin≥3·的一个隔离及类似
BC的外接圆与内切圆半径分别为R,r,证明：(1)引理1若△ABC的外接圆与内切圆半径分别为R,r,则证明设△ABC的3条边长分别为a,b,c,则由面积公式及正弦定理,可得因此 2RsinB·2RsinC·sinA=(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r.于是从而故引理2(Euler不等式)若△ABC的外接圆与内切圆半径分别为R,r,则R≥2r.R≥2r.下面证明命题1.证明先证式(1)中的第1个不等式.所以同理可得以上3个式子相加化简即得再利用2
中学教研(数学) 2010年1期2010-12-01