欧拉不等式的推广

曹嘉兴

1765年，大数学家欧拉（L.Euler，1707～1783）建立了一个关于△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r之间关系的著名不等式：R≥2r，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.由于该不等式具有简单而不平凡的特点，所以至今仍然在几何不等式领域里保持着高水平的地位，关于它的各种加强和推广的研究一直是几何不等式研究的热点，笔者在研究三角形内部任意一点到各边的距离时得到了欧拉不等式的如下推广.

由上述证明过程不难看出，当且仅当△ABC为正三角形并且点P为△ABC的中心时等号成立.

特别地，当点P为△ABC的内心时，x=y=z=r（r为△ABC的内切圆半径），则由（1）式得R2≥r，即R≥2r，因此不等式（1）是欧拉不等式的一种推广.

定理2设P是△ABC内的任意一点，点P到三边BC、CA、AB的距离分别为x、y、z，△ABC的外接圆半径为R，则

R2≥xy+yz+zx3（x2+y2+z2）.（4）

为正三角形并且点P为△ABC的中心时等号成立.

特别地，当点P为△ABC的内心时，x=y=z=r（r为△ABC的内切圆半径），则由（4）式得R2≥3r29r2，即R≥2r，因此不等式（4）也是欧拉不等式的一种推广.

参考文献

[1]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科学技术出版社，2004.