数学研究性学习的实践与认识

姚红

圆锥曲线的本质是几何问题代数化，有些习题看起来很平常，实际上反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓，是创新思维的生长点，这就需要教师适时引导学生不断的发展，引申，变迁问题，进行研究性学习，从而培养学生发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力.图1

习题展示：如图1，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x29+y25=1的左、右顶点分别为A、B，经过点T（1，0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，求证：直线AM、BN与直线x=9相交于一点.

学生很快呈现出本题的代数计算过程.

解析：若直线l与x轴重合，命题显然成立.

若直线l不与x轴重合，设直线l的方程为my=x-1，

联立my=x-1

平面中，两条不平行的直线相交于一点是显然的，但是3条直线相交于同一点应该不仅仅是巧合，背后到底“隐藏”着什么样的数学原理呢？我们能不能从问题出发，试着对问题进行一般化研究，变式研究，推广研究，类比研究，甚至可以研究这一类问题的本质.

一个星期后的数学课上，学生互相交流探讨所研究的问题与结论，学生对于问题的变式研究，类比研究大大超出我的预料，在课上，每个同学都积极参与，力求用最精炼的语言表达结论，用最严谨简洁的过程证明结论的正确性，课后学生齐心协力，更是挖掘了问题的本质.1问题探究，披沙拣金

拓展研究一平面直角坐标系中，椭圆C：x29+y25=1的左、右顶点分别为A、B，经过点（1，0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，则直线AM、BN的交点轨迹是直线x=9.

第二个结论是对第一个结论的推广，证明了在任意椭圆中这样两直线的交点轨迹均是直线，轨迹方程只与直线所过的定点和椭圆中的系数a有关.

拓展探究三平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A、B为长轴两端点，直线l过x轴上任意一点T（t，0）（t≠0）与椭圆交于M、N两点，若直线AM、BN的交点为P，则OP·OT=a2（为定值，与t无关）.

前面已证直线AM、BN的交点P（a2t，yp），易得OP·OT=a2.

看到这样的结果，学生脸上露出惊讶的表情，他们从中体会到数学的神奇，一个看似很平常的问题，竟然得到这么和谐漂亮的结论.

经过不断的拓展研究，条件不断的一般化，直线过x轴上任意一点T（t，0）（t≠0）推广为过平面内任意一点时向量点乘积为定值的结论依然成立.

拓展探究四平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A、B为长轴两端点，直线l过平面内任意一点T（t，s）（s≠0）与椭圆交于M、N两点，若直线AM、BN的交点为P，直线l与x轴的交点为Q，则OP·OQ=a2（为定值，与t无关）.

证明过程类似，从略.

如果将椭圆改为圆，结论也成立.圆可以看作是椭圆的特殊情况，在计算的过程中a、b的大小是否相等并不影响计算的结果，.

从三线共点到结论“OP·OQ=a2”如此简洁，如此美妙，直觉告诉我们这决不是偶然，肯定有其必然性，研究后发现本题有丰富的背景，它与极点和极线的知识有关.

实际上，关于极点和极线，有如下两个常用的结论：图2

（1）如图2，设P为不在圆锥曲线上的点，过点P引两条割线交圆锥曲线于

E，F，G，H，设EG，FH交于M，EH，FG交于N，则称MN为点P对应

的极线，同理，称PN为点M对应的极线，PM为点N对应的极线；

（2）对于椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P（x0，y0）对应的极线为

xx0a2+yy0b2=1，特别点P（t0，0）对应的极线为x=a2t.

有了极点极线知识，我们所拓展研究的问题就很容易解释了：

当直线l过x轴上任意一点T（t，0）（t≠0）时，点T（t，0）对应的极线为过点P且垂直于x轴的直线x=a2t，此时P（a2t，y0），所以OP·OT=a2.

当直线l过平面内任意一点T（t，s）（s≠0）时，直线l与x轴的交点为Q（m，0），点Q对应的极线还是过点P且垂直于x轴的直线x=a2m，此时P（a2m，y0），所以OP·OQ=a2.2研究性学习实践的认识

课堂是教学变革的主战场，研究性学习只有根植于课堂，变成课堂教学中的一种常用方式，才能由一种开放的教育思想变为可行的教学实践，才能真正发挥其应有的价值[1].在理论学习和教学实践中，数学课堂探究性学习必须依照数学学科的特点，努力凸显其固有的问题性、自主性、过程性和开放性.

2.1问题性

“问题是数学的心脏”，它促使人们对数学本质的探索，推动人们对数学真理的发现.没有问题也就难以诱发和激起探究欲望，感觉不到问题存在也就不会生成认知上的需要，就不会深入思考，学习也只能是表面和形式的训练.数学研究性学习强调通过问题来进行学习，把问题看成学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线[2].教学中，教师要关注课本例题和习题的结论，应该主动地寻找知识的生长点和思维的发散点，不断地发展引申、变迁问题，进行探究.通过学习生成问题，把数学学习看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.

2.2自主性

探究性学习是相对于授受式学习而提出的.自主性是探究性学习最本质的规定性，也是探究式学习与授受式学习相区分的关键所在[3].探究性学习突出了学生作为教学活动的主体，立足于学生的学和自主性探究，以学生的主体活动为中心展开.强调学生是在教师恰到好处的引导和帮助下自主地参与教学活动，以自己的经验和知识为基础，经过独立的、合作的探索与发现，亲身的体验与实践，将知识纳入到自己的认知结构中，并尝试解决新问题.在探究性学习中，教师要适当地帮助引导学生，培养学生发现问题的创造潜能，使学生的求知和创新意识得到发展，为学生的终身学习和毕生的发展奠定基础，这才是数学教育的真正意义所在.

2.3过程性

研究性学习追求过程和结果的和谐统一，它强调尽可能地让学生经历一个完整的知识的发现、形成、应用和发展的过程.数学学科的特点决定了数学教学不宜将概念、法则、结论直接告诉学生，而应努力地揭示它们发生、发展过程，使学生在“过程”中逐渐体会并掌握获取知识的方法，体验数学知识的“再创造”历程，在这样的探究过程中思维才有机会得以充分而自然的开启、交流、优化和升华.

2.4开放性

“数学教学就是数学思维活动的教学”.在传统的授受式学习的课堂里，学生的思维基本是在教师规定的航道上运行，思维发展难有成效.学生思维的诱发不仅来自教师的启迪，也来自于学生之间的相互启发，这就需要一个开放的教学环境.在探究的过程中，不追求问题的难度，更关注能否体现强烈的探究欲望和创新兴趣；不追求解题技巧，更关注学生对数学概念、数学本质的理解、数学思想的领悟.只有在民主、和谐的课堂氛围中，学生才能自由的想象，大胆的思考，才能充分挖掘自己的潜能，全面展示自己的个性，思维才最活跃最有创造性.在层出不穷的新问题的探究中，学生的思维层次和创新意识才能向纵深发展，这也正是探究性学习的精神要旨.

参考文献

[1]徐章韬，梅全雄.论基于课堂的数学探究性学习[J].数学教育学报，2013，22（6）：1-4.

[2]余文森.课堂有效教学的理论和实践[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]任长松.探究式学习-学生知识的自主构建[M].北京：教育科学出版社，2005.