七种方法求解直线方程

摘要：高考对直线方程的考查也是比较常见，本文尝试用七种方法解决一道涉及角平分线的直线方程问题.

关键词：直线方程；角平分线；内切圆；正切

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0031-02

收稿日期：2022-07-05

作者简介：卢会玉（1981.7-），女，甘肃省天水人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

高考对直线方程的考查也是比較常见，但是一般都是选择或者填空题.有时用相关的平面几何的知识解决问题是非常快捷的，有时用适合题目特点的一些方法也是比较合适.本文对一道涉及角平分线的题进行了深入的分析和探究，用七种方法揭秘这种类型问题的解法.

1 试题呈现

题目已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（-2，0），C（2，0），则∠A的平分线所在直线l的方程为.

2 试题解析

解法1（利用角平分线的性质求解）

易知直线AB的方程为3x-4y+6=0，直线AC的方程为x=2.

设Mx，y 是l上任意一点，则由点Mx，y到两直线AB，AC的距离相等，得

|3x-4y+6|32+42=|2-x|.

化简，得2x-y-1=0 ，或x+2y-8=0（易知斜率为负的舍去）.

故所求直线l：2x-y-1=0.

解法2（利用角平分线的性质及线性规划知识求解）

易知直线AB的方程为3x-4y+6=0，直线AC的方程为x=2.

设Mx，y 是l上任意一点，则由点Mx，y到两直线AB，AC的距离相等及线性规划知识得3x-4y+632+42=2-x.

化简，得2x-y-1=0，即为所求.

解法3（利用角平分线的性质及线性规划知识求解）设l与x轴的交点为D（x0，0），又AB：3x-4y+6=0，AC：x=2，则由点D到直线AB，AC的距离相等及线性规划知识，得3x0+632+42=2-x0（如图1）.

则x0=12，即点D12，0.

则容易求得l：2x-y-1=0.

解法4（利用平面几何知识求解）

依题意可知，直线l必过△ABC的内切圆的圆心，设内切圆的圆心为P，半径为r（如图2）.

又由AB=5，BC=4，AC=3可知，△ABC为直角三角形.

则r=12（AC+BC-AB）=1.

所以P（1，1）.

由直线l过P（1，1）和A（2，3），

容易求得l：2x-y-1=0.

解法5（利用等面积法求解）

依题意可知，直线l必过Rt△ABC的内切圆的圆心，设内切圆的圆心为P，半径为r.

由直角三角形可知

SRt△ABC=12×BC×AC=12×4×3=6.

又SRt△ABC=12×3+4+5×r=6r，

所以6r=6.即r=1.则P（1，1）.

由直线l过P（1，1）和A（2，3），

容易求得l：2x-y-1=0.

解法6（利用等面积法求解）

设l与x轴的交点为D（x0，0），则点D到直线AB的距离d=DC=2-x0（如图3）.

又BD=x0+2，则

S△ABD=12×BD×AC=12×AB×d.

所以3（x0+2）=5（2-x0）.

解得x0=12.

即点D12，0.

则容易求得l：2x-y-1=0.

解法7（利用两角差的正切公式求解）

易知直线AB的斜率为34，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

y-3=k（x-2）.

令y=0，则x=2-3k.

则DC=3k.

则tan∠BAD=tan（∠ADC-∠ABD）

=tan∠ADC-tan∠ABD1+tan∠ADC×tan∠ABD

=k-341+k×34.

又tan∠DAC=DCAC=3k3=1k，

则k-341+k×34=1k.

解得k=2，k=-12（易知斜率为负的舍去）.

故所求直线l：2x-y-1=0.

以上七种解法，有的灵活运用了角平分线的定义、点到直线的距离公式、线性规划等知识；有的巧用了三角形内角平分线和圆的切线性质，利用了内切圆半径r与Rt△ABC的三边关系；有的灵活运用了等面积法，从而快捷地求得内心的坐标及直线l的方程；有的利用了三角函数知识解决了问题.应该说不同的方法打开不同的思维通道，能给人很多启发.

参考文献：

［1］刘辉.用直线系求解直线方程的几种方法[J].中学生数理化（高一版），2013（11）：10.