恒定电路中等效电源模型的建构及应用

摘要：恒定电路教学中，从学生的认知起点出发，依据思维进阶理论合理、有效地建构等效电源模型并灵活运用等效电源分析解决电路问题，既能帮助学生体验和领悟物理思想方法，又能提升学生的科学思维能力和运用物理知识解决实际问题的能力.

关键词：恒定电路；思维进阶；等效电源

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0122-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：赵生武，本科，中学正高级教师，从事高中物理教学研究.

1 问题的提出

闭合电路由外电路和内电路两部分组成，外电路中流过的电流大小等于电源中的电流大小，外电路两端的电压又叫路端电压，外电路消耗的功率等于电源的输出功率.一个结构比较复杂的闭合电路，外电路往往由多个电阻串联（或并联或混联），涉及多个电压关系、电流关系和功率关系.学生分析复杂结构的恒定电路时，往往出现思维混乱、逻辑不清等困难.建构等效电源模型可以简化电路结构，降低问题分析难度.建构等效电源模型时，突出研究某一电阻，将这一电阻两端的电压和通过这一电阻的电流转换为等效电源的路端电压和通过等效电源中的电流.这样，便于灵活应用闭合电路欧姆定律，创造性地解决恒定电路中的疑难问题.例如，分析某一变化电阻消耗的功率时，可以建构等效电源，将变化电阻等效为外电路，变化电阻消耗的功率等效为等效电源的输出功率.

2 基于思维进阶理论，建构等效电源模型

建构等效电源，关键在于如何确定等效电源的等效电动势和等效内阻.根据闭合电路的欧姆定律，当某一电源与外电路断开时，将一理想电压表接在电源的两端，电压表的示数等于电源电动势大小.电源内阻是指电源内部结构的阻值，大小等于电源的路端电压U随流过电源的电流I的变化关系图像的斜率的绝对值.基于思维进阶理论，可以确定等效电源的等效电动势和等效内阻.

2.1 思维进阶起点

如图1所示，将闭合电路的外电阻R与电源断开，且在电源两端a、b之间接上理想电压表，此时理想电压表的示数等于电源的电动势E；a、b之间的电阻等于电源的内阻r.

2.2 思维进阶节点

节点1：如图2（a）所示，闭合电路的外电路由滑动变阻器R和定值电阻R0串联组成，当研究滑动变阻器R两端的电压或滑动变阻器R消耗的电功率时，可将虚线框内部分看作等效电源.当a、b两端与外电路断开，a、b间接上理想电压表（图2（b））时，理想电压表的示数U=E，即等效电源的等效电动势E′=E；虚线框内定值电阻R0与电源内阻r串联，a、b间的等效电阻为R0+r，即等效电源的等效內阻r′=R0+r.图2（a）简化为图2（c）.

节点2：如图3（a）所示，闭合电路的外电路由滑动变阻器R和定值电阻R0并联组成，当研究滑动变阻器R两端的电压或滑动变阻器R消耗的电功率时，可将虚线框内部分看作等效电源.当a、b两端与外电路断开，a、b间接上理想电压表（图3（b））时，设理想电压表的示数U，则ER0+r=UR0，U=R0·ER0+r，即等效电源的等效电动势E′=U=R0·ER0+r；虚线框内定值电阻R0与电源内阻r并联，a、b间的等效电阻为R0·rR0+r，即等效电源的等效内阻r′=R0·rR0+r.图3（a）简化为图3（c）.图3

2.3 思维进阶终点

将图2、图3中的思维进一步拓展，如图4所示.虚线框内部分看作等效电源，等效电源的等效电动势为E′，等效电源的等效内阻为r′，则：

甲图：E′=R1·ER0+r+R1，r′=（R0+r）·R1R0+r+R1

乙图：E′=R0·ER0+r，r′=R0·rR0+r+R1

依次类推，可以建构更加复杂电路的等效电源，确定等效电动势和等效内阻.

3 等效电源模型在恒定电路中的应用

3.1 判断比较电压表示数的变化量大小

例1如图5所示的电路，电源电动势E恒定不变，内阻r不可忽略，R1、R2、R3为定值电阻，R4为滑动变阻器，A1、A2为理想电流表，V1、V2、V3为理想电压表.闭合开关后，I1、I2分别表示两个电流表的示数，U1、U2、U3分别表示三个电压表的示数.现将滑动变阻器R4的滑片稍向上滑动一些，ΔI1、ΔI2分别表示两个电流表示数变化的大小，ΔU1、ΔU2、ΔU3分别表示三个电压表示数变化的大小.下列说法正确的是（ ）.

A.U2变小B. U2I2变小

C. ΔU2小于ΔU3D. ΔU1ΔI1大于ΔU2ΔI1

答案：C

3.2 分析求解变阻器消耗的功率问题

闭合电路中，电源的输出功率随着外电阻的变化而变化.当外电阻阻值等于电源内阻大小时，电源的输出功率最大，且P出m=E24r；当外电阻的最大阻值小于电源内阻（或外电阻的最小阻值大于电源内阻）时，外电阻的阻值R越接近电源内阻r时，电源的输出功率最大.在闭合电路中，求解某一变阻器消耗的功率时，无法根据功率公式P=I2R或P=U2R直接求解，应用等效电源思想，将变阻器作为等效回路的外电路，则变阻器消耗的功率就等于等效电源的输出功率.

例2如图6（a）、（b）所示，电源的电动势为E，内阻为r，R0为定值电阻，滑动变阻器的最大阻值为R.求：

（1）（a）图中已知R>R0+r，当变阻器的阻值调至时，变阻器消耗的功率最大，且最大功率为.

（2）（b）图中已知R>R0>r，当变阻器的阻值调至时，变阻器消耗的功率最大，且最大功率为.

答案：（1）E24（R0+r）（2）R0·rR0+r

3.3 作出等效电源的U-I图线（或I-U图线），确定用电器的工作状态

例3在如图7（a）所示的电路中，电源电动势为3.0 V，内阻不计，L1、L2为相同规格的小灯泡，这种小灯泡的伏安特性曲线如图（b）所示，R为定值电阻，阻值为10 Ω.当开关S闭合后（）.

A. L1的电阻为12Ω

B. L1消耗的电功率为0.75W

C. L2的电阻为5.0Ω

D. L2消耗的电功率为0.3W

答案：ABC

3.4 分析实验“测电源电动势和内阻”的系统误差

测电源电动势和内阻实验中，误差分析是学生学习的难点.理论推导方法过程繁多，学生容易出错；图像分析法比较抽象，理解难度太大，耗时较长.应用等效电源法，能取得事半功倍之良效.

测电源电动势和内阻实验的方法一般由三种：伏安法、安阻法和伏阻法，其中伏安法包括电流表的内接法和外接法.所以，本实验的原理图有以下四种，如图8所示：

依据系统误差来源分析，8（a）8（d）、丁两图中是由于电压表的分流引起系统误差，8（b）、8（c）两图中是由于电流表的分压引起系统误差.

恒定电路中，学生学习的重点在于电路结构的分析及相关物理量的求解.应用等效物理思想建构等效电源模型，既能帮助学生体验和领悟物理思想方法，突出物理学科本质，又能简化电路结构，便于相关物理量的分析求解，有效促进学生模型建构、推理论证、质疑创新等思维能力和运用物理知识方法解决实际问题能力的提升.

参考文献：

［1］任镜圩，刘娟.等效电源法巧解高中物理电路问题[J].中学物理教学参考，2019（10）：58-59.