活用教材习题，推动思维进阶

陈云菊 顾晓东

摘  要：教材习题是学生巩固知识技能、发展数学素养的重要载体，教师应根据教学目标和学情需要，二次开发教材习题内容，引领学生深入开展数学探索，有根有据、有条有理地进行数学思考，系统内化数学知识，推动数学思维进阶。

关键词：教材习题;拓展;思维进阶

《数学课程标准（2011版）》对教材的使用提出了如下建议：“教师要善于结合实际教学的需要，灵活地和有创造性地使用教材，对教材的内容、编排顺序、教学方法等方面进行适当的取舍或调整。”全新的课程标准蕴含了全新的理念：教师是“用”教材而非“教”教材，教师可以根据教学目标和学情需要，充分调动自己的经验和智慧，恰当、灵活地进行课程内容的调整组合、补充延伸，引领学生积极主动地进行数学探索，有根有据、有条有理地进行数学思考，系统内化数学知识，发展学生数学素养。

下面以苏教版数学三年级下册的教材习题拓展教学为例，谈谈通过对教材习题内容的适当调整和增补，更深层次地、创造性地挖掘教材习题蕴含的发展性价值，全方位推动学生数学思维进阶的实践和思考。

[?]一、瞻前顾后求通联，让思维向更远处发散

小学数学教材中往往会设计一些呈显性关联的习题，这类习题所涉及的相关联的知识由于外在相似点较明显，学生易于发现和掌握。教师教学时，若能把握教材的设计意图，联系前后教材中有关联知识的习题，有意识地引导学生发现这种关联性，就会有效激活学生的认知经验，使学生更透彻地理解知识，构建合理的知识框架，从而达到触类旁通的效果。

如苏教版数学三年级下册练习五的第2题是这样的：

17×4+20  31+5×30  175÷7-2

17+4×20  （31+5）×30  175÷（7-2）

在教学时，组织学生自主计算后，引导学生比较每组中两题的异同点。学生发现：每组两题数字相同，运算符号相同，但运算符号的位置变化或小括号的使用使运算顺序发生改变，结果也就不同。至此，这道题的基本使命似乎已完成。但练习五第7题的设置让我们意识到编者的意图不仅仅如此：

不计算，在○里填“>”或“<”。

40×5+3○40×（5+3）

162-24÷6○（162-24）÷6

137-75-25○137-（75-25）

因而，我們可以针对练习五的第2题再次抛出一问：如果不通过计算，你能用其他方法比较出上下两题哪个得数大吗？富有挑战性的问题成功激起了学生的探究热情，经过小组再讨论，学生又发现：从乘法、除法意义和变化规律上去理解每一个算式，很容易就能比较出每组两题得数的大小。以第一组两题为例：17×4+20可以看作比17个4相加的和再多20;而17+4×20可以看作比20个4相加的和再多17，17个4相加的和明显小于20个4相加的和，而另外分别加上的两个数大小差不多。这样一比较，就知道17×4+20<17+4×20。同理，根据之前所学“被除数、除数、商”之间的关系，学生已经知道“被除数不变，除数越大，商越小;相反，除数越小，商越大”的变化规律，所以第三组两题不用计算，很容易就看出175÷7-2<175÷（7-2）。

有了以上两组题比较大小的经验，再来看练习五第7题，看似复杂的两步计算式题的大小比较，在学生眼中俨然演化成简单的部分与整体之间关系的比对，难以消化的新题型迎刃而解。可见，把相似或相通的数学习题整合联结重新设计，通过问题引领、对话交流，引导学生对比分析，沟通其区别与联系，追溯其知识根源，有助于学生在反思中逐步明晰知识的本质，在整体感知和比较中丰富和发展数感，学生思维的维度将更加广阔，思维方法将更加灵活。

[?]二、顺应学情求延展，让思维向更宽处拓展

教学不仅仅是“教”，更是“导”。如果整个教学过程全靠教师的方法影响、同化学生，学生的思维过程就会缺乏广度和深度，也就谈不上对知识的深刻理解。教师应顺学而导，给予学生充足的探究时空，充分思考和表达观点的机会，促进学生思维冲突，自我寻求解决之道。

苏教版数学三年级下册教材《有趣的乘法》里有这样一组题：

直接写出下面各题的得数，并比较每组两道题，说说有什么发现，和同学交流。

24×26=    44×46=    74×76=

25×25=    45×45=    75×75=

学生在经过观察计算、比较交流后发现：每组题都是形似（a-1）×（a+1）与a×a的乘法算式，而每组第一题的乘积都比第二题少1。本来得出这样的结论，就已经达到教学要求，可以到此为止了。但有学生发现，每组第一题的两个乘数的和与第二题的两个乘数的和相等，如24+26=50，25+25=50;44+46=90，45+45=90。教师抓住这个契机，适时引导：以中间一组算式为例，还有哪些两位数加两位数也等于90？它们的乘积又是多少呢？这里面会不会也藏有什么规律呢？问题激起了学生的兴趣，他们马上列举出一些情况：43×47=2021，42×48=2016，41×49=2009，40×50=2000，39×51=1989……进而探讨发现：两个乘数的和不变，两个乘数相差越大，所得的乘积越小;反之，两个乘数相差越小，所得的乘积越大。在第二组中，44与46两个乘数相差2，45与45两个乘数相差0，显然45×45>44×46，这和我们开始计算得出的结果是一致的。

学生的发现经验证正确，他们顿时跃跃欲试。此时教师再次给出挑战性任务：根据这个有趣的发现，用3、4、5、6这4个数字组成两个两位数，要使乘积最大，应该怎样组合？在小组合作探究中，学生的思路渐渐清晰：要使两个数的乘积最大，首先要使这两个数尽量大。因此这两个乘数的十位选择6和5，剩下的4和3放在个位。这时就会出现两种情况：64×53或63×54。64与53的和是117，63与54的和也是117，到底哪种组合乘积更大呢？这时学生主动运用刚才发现的规律，指出63与54的差较小，它们的乘积最大。

在上述教学活动中，教师顺应学情，用一题带多题，逐层深入、拓展，引导学生自主发现、验证和总结规律，并应用规律去解决更复杂、更抽象的问题。在这个过程中，学生的思维是发散而变通的，教师要做的就是顺着学路调整教学，适时有效设问，适度点拨拓展，让学生无疑而生疑，有疑而思辨，解疑而提升。

[?]三、有心栽花求渗透，让思维向更深处探寻

无论是建立数学概念，探究数学规律，还是解决数学问题，都需要数学思想方法的指引和运用。教师应充分挖掘教材习题中所包含的数学思想，在教学设计时，有意识地将它们渗透到具体内容中去;在课堂教学中，有选择地用数学思想方法去揭示知识的实质，定能有效提高学生的思维品质，优化思维结构。

苏教版数学三年级下册第50页设计了一个“动手做”内容——框数游戏：

教师设计了框数游戏的实践活动。首先，学生根据要求每次用长方形框出不同的3个数，很快算出了它们的和。例如：16+17+18=51，29+30+31=90。在观察和比较中，学生很快有了发现：一是任意框出的三个数相邻之间都相差1。此时教师并不满足于学生现有思维发展水平，而是有意渗透了代数思想方法：如果中间一个数用图形★来表示，你准备怎样表示另外两个数？三个数的和又怎样表示？学生讨论后一致认为：用★-1和★+1来表示跟★相邻的两个数非常合理，进一步也就能得出“用★×3表示三个数的和”。在这一拓展的过程中，代数的初步思想在学生头脑中有了粗浅的萌芽。

在后续应用练习中，学生进一步认识到“横着框出三个数，它们的和正好是中间数的3倍”这一结论，于是教师及时反向拓展：你能框出和是30的三个数吗？学生在尝试运用刚得出的新经验去逆向思考、验证、解决问题的过程中，加深理解了“移多补少”这一平均数概念的本质内涵，更进一步体验了从具体到抽象，再化抽象为直观的数学认知过程。为了进一步升华，教师还让学生选择竖着框三个数以及横竖结合框5个数等框数游戏，学生在越来越熟练的操作中，不仅体会到数抽象成符号的简约与便捷，由此渗透的符号意识和方程、数形结合等思想方法，还有助于学生抽象推理、反思交流等核心素养的提升。

數学知识的探究过程，也是数学思想方法的发生过程，教师要充分利用教材习题，有心栽花求渗透，做到纵横捭阖，让学生在自如的探究中充分展开高阶思维活动，这样既有利于学生对知识的掌握和运用，更有利于学生思维向更深处漫溯。

叶圣陶先生曾说：“教材无非是个例子。”教师使用教材，尤其是对教材习题设计、调整和增补是一种极富主动性、创造性的工作，如果能既不脱离教材提供的习题，又能根据教学实际进行灵活挖掘和适当整合，创造性地尝试多种构思，合理地引导教学过程，就会让教材习题效用最大化。这样有意义的教学活动，才能让学生的思维过程更深刻，思维方法更灵活，思维品质更上一个台阶。同时，教师的专业素养也将在实践、调整与反思中得到提升和完善。