聚焦本源 有序设计 深度建构 提升思维

沈静

摘  要：针对学生在运用三角形高的知识进行综合解题中出现的种种错误，试图努力通过对教材的整合，对“画垂线——三角形的高——同底等高三角形的比较——与其他图形的比较——综合应用”有序设计，引导学生从最初的认知起点出发，了解高的“前世”“今生”，由此不断递进，在建构的过程中感受数学思维的“一脉相承”，成为一个完整的知识链，为高的“后世”——综合运用提供可能，从而达到提升思维、发展能力的目的。

关键词：整合;联系;结构化设计;思维训练;核心素养

教材是教学内容的重要载体，也是教师教学的重要依据，教材的内容从年级、单元最后到课时由上而下都有清楚的脉络，不过教材循序渐进、螺旋上升的编排或多或少地影响了学生学习的连贯性，阻碍了对学生良好的认知结构的形成。如教材是“大写意”的，那么教材的实行者——老师，对课堂的实施，应该是一幅幅的“工笔画”，从架构的精细描画，对教材拾遗补阙，做好跑龙套的角色，进行结构化的教学，改善数学知识被分割、肢解的不足，努力将碎片化的知识由点及线，由线连面，由面建体，不能以点为点，把课时内容作为一个单一的知识点组织课堂教学，而应以一组内容或看作一个知识群来组织教学，清晰学科知识的逻辑体系以及基于知识体系的能力素养体系，对知识背后的数学思想方法及核心内容了然于心，以实现学生从学习知识转化成能力的过程。下面就以“应用三角形的面积综合解题”为例展开讨论。

图形的面积计算是五年级上册在学生认识了平面图形后，通过剪拼、平移、旋转等方法，探索并掌握了平行四边形、三角形和梯形的面积公式，在此基础上解决一些如下图的简单组合图形面积的计算或判断，如：判断下图中的哪个阴影部分面积与其他阴影部分面积不相等？（图1）又如：图形ABCD的面积是多少平方厘米？（图2）再如：王大伯有一块梯形的菜地，其中阴影部分种西红柿，他想知道种西红柿的面积是多少公顷，你能帮他算一算吗？（图3）

在实际的作业反馈中，发现学生的错误率之高令人咋舌，此类题型主要考查三角形面积公式的灵活运用，能快速地判断钝角三角形底边上对应的高是哪条。后一题同理也是，观察图形判断出阴影部分的面积是由两个钝角三角形面积相加所得，并能找出AB边对应的高是CE，DC边对应的高是AF，这是解答此题的关键。但为何大部分学生看不出图形的等高呢？原因有很多，最重要的有以下几个：①底边不在水平线上;②高不在三角形内，即钝角三角形的高一般都不能找出。

[?]一、溯本求源，直击起点，有序设计

数学知识有着本身固有的结构体系，往往新知孕伏于旧知，旧知识是新知识的伸长点，学生的综合解题的错误或偏差，常常意味着与之相关联知识的缺失，这就需要我们去探寻学生的“前数学经验”停留在哪个位置。只有找到了问题的源头，才能顺藤摸瓜找到解决问题的方法。很显然，以上这类解题的关键在于高，再追寻学生的认知源点，实际就是学生已经学的“过直线外一点画已知直线的垂线”，也就是四年级上册点到直线的距离演绎而来，再往上追溯，三角形高的本质就是两点之间的距离，这是一个核心的概念，如果对这条线段的两个端点的位置加以不同的限制的话，又可以衍生其他几个重要的概念。比如，两点之间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离等这些相互联系的概念（这些暂且不表），都是對线段的两个端点位置增加或限制条件后做出的定义。三角形的高也在这个概念系统之内，简而言之，它是一条顶点到垂足之间的线段，一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点是过这个顶点向对边所作的垂线段后所得的垂足这一本质特点，所以从某种意义上来说，垂线的画法和性质是以后进一步学习平面直角坐标系、三角形高、切线的性质和判定，以及空间中的垂直关系等知识的基础，由此，我们也很容易看出“垂线”这一前期起点知识的重要性。

曹培英老师把几何形体概念的同化归纳为三个阶段：定义——同化——强化。强化是教师有目的地对学生的认知活动进行直接干预或间接干预的教学行为，目的是使某种形式呈现的刺激物与学生认识或行为之间建立起比较稳固的联系，即要注重对“量变的积累”训练，才能有“质变”的突破。这就需要我们教师在四年级下册教学画垂线的起点教学中，教师不仅仅以教材知识这个点教学，而是努力尝试围绕这个点适度展开，将知识不断地强化延伸，进行有层次的训练。

（1）从难易程度来设计练习（如图4）：①画已知直线的垂线——②过直线上的一点画已知直线的垂线——③过直线外的一点画已知直线的垂线——④在角中画垂线——⑤在图形中画垂线。在画已知直线的垂线（点在线上）时，引导学生规范画垂线的操作方法;第二层次过直线上的一点画已知直线的垂线时，适当把画垂线的方法化为朗朗上口的口诀“一重、二靠、三移、四画、五标”，并按照步骤严格作画;通过以上步骤练习操作，学生掌握了经验后，可以迁移上一步的画法，练习经过直线外的一点画已知直线的垂线和角内、图形内画垂线的方法，为图形的“高”提供前经验。

（2）从位置形式上进行设计练习（如图5、图6、图7）：不仅对“边”的位置进行变换练习，对所对应的点的位置也要作出不同的变式，即对对边在水平线上的和不在水平线上的，以及点在对边的区域内、区域边上、区域外等不同的位置进行画垂线的练习。通过以上有序的设计，引导学生从不同位置的直线外的一点画已知直线的垂线段，准确地感知和建构“垂线段”的本质，也帮助学生去除概念的非本质属性，拓展“垂线段”的应用范围，驱动深度学习，为深度“认识高”积累丰富的活动经验，有意识地帮助学生打通“三角形画高”这一后续的新知学习与这个“认知起点”的联系，打好“认识高”的前位基础，做好扎实的铺垫，促进学生更好地进行数学理解，实现“高”这一概念的自然生长。

[?]二、提供联系，纵向贯通，整体感悟

三角形画“高”历来都是教学的难点，学生一般都理解为只有在竖直方向上才有高，如果事先形成了这样的思维定式，那么当三角形的底边不在水平线上时，所对应的高不再是垂直方向，学生画高也就无从下手，随之，应用高的知识解决一系列图形面积问题也就成为学生的最大痛点，教过高年级的教师都深有感触。对于各种形式的三角形的画高，学生需要对概念进行深入理解以及运用，需要对图形进行细心的观察分析，需要工具的灵活操作使用，画高是考验学生的一项综合的数学实践活动。不过，纵观四年级下册教材，对三角形的高没有重点强调，只是从现实情境出发，引导学生借助生活中常见的人字梁的高，通过测量比较人字梁的高度来感知三角形的底和高，并由此抽象出三角形的底和高的概念，仅仅如此，事实上是远远不够的。斯根普在《学习数学的心理学》中指出：概念教学应该从大量的实例出发，用实例直观地帮助完成定义，而不是就定义教定义。学生对各种不同三角形“高”的数学概念的认识和感受，表象的形成需要通过一系列的训练才能达成，这就需要教师从学生的角度出发，积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会用教材教，组织学习探究材料，给学生提供“动态想象”图。所以在教学这部分知识的时候，依据影响三角形画高的难度因素，把三角形画高教学进行这样的调整：

（1）经验引入，联系新知。通过学生所熟悉的比人身高和树的高度，初步感知“高”必须从顶点出发，并得出无论人是躺着还是站着，他的身高总是从头顶（相当于顶点）出发，垂直于脚板（相当于对边）的垂直线段，是不变的，初步去除底边一定在水平线上这一非本质属性。

（2）游戏穿插，体会对应。针对学生在画高的过程中常常会出现图8所示的错误，我们可以设计“比比谁的反应快”的游戏（图9），体会顶点与底边的对应关系，教师指点（边），学生抢答其对应的边（点），明确底对应的顶点，是准确画“高”的前提条件，必要时还要说明，底所对应的顶点，即是除了与底边相连的两个顶点外的另一个顶点，为正确画“高”做好铺垫。

（3）示范画高，同化步骤。改变教材常规的水平边上画高，而采用锐角三角形中画斜边上的高为示范，提炼发现画高的步骤和画垂线的方法完全相同，有了有序的操作步骤做支撑，进一步明确高和底是相对的，是一组互相垂直的线段，学生不断将之内化为规范，并在操作中对高有了进一步辨析和理解，将画高的过程抽象到“点到线段的距离”即转化为已学过的作垂直线段的知识，将“转化”这种重要的、数学的基本思想介入到新的学习方法中。如此，将新经验纳入已有的知识结构中去理解，帮助学生了解认知结构的前因后果、来龙去脉。

（4）提供支点，有效串联。数学知识的体系就像一棵大树，每一个知识点往往是原有知识的延伸和拓展，教师在数学课堂上尽可能给学生提供支点，让学生对知识本质内涵有效串联，感受数学的链状结构，帮助学生逐步加深对概念的理解，促进学生自主建构，使学生的理性思维不断走向完善。本堂课也是如此，巩固环节可以出示画垂线作图题（图10），然后动态依次连接线段的两端和线外的一点，便出现了三个三角形，引导：你发现在三角形中，点到直线的垂线段，就是三角形的什么？学生通过观察比较，唤醒旧有经验，画高的本质与四年级上册学的经过直线外一点画垂线段的方法是相同的，再次沟通了“画高”和“画垂线”这两个上下位知识点的联系，把新学的“画高”拉回到了“画垂线段”这个知识的源点。这样，新的概念和旧有的概念得到精确的分化和贯通，新的概念无形中被纳入原有的认知结构中，形成内容丰富也更加完善的认知结构体系。

（5）多维辨析，整体感悟。通过上述层层递进的变式练习，学习各平面图形的高后，再次深入帮助学生建构概念，深入辨析，促进学生更好地进行数学理解：不管是平行四边形的高还是梯形的高，都是从一条平行边上的一点出发，到对边（底）的垂线段，本质都是“垂线段”但也有一定的区别。平行四边形和梯形与三角形相比，梯形有无数条高，从上底任意一点到下底所画的垂线段都是它的高，平行四边形有两组不同的底和高，有无数条。而三角形有三组不同的底和高，各只有一条，分别是从其中一个顶点出发到对边（底）的垂线段，其中，钝角三角形有两条高在外部，直角三角形的两条高在图形上。

[?]三、动态演示，横向联系，深度建构

除了构建纵向维度的知识“线”体系，将“点到直线的距离”与“三角形的高”连接起来，知道知识是怎么来的以外，还需要构建横向的知识“线”体系，为构建以线连面提供可能，借助动图，把各种三角形的高和其他平面图形的高联系起来，整体感知各种三角形的高的位置变化。

1. 三角形与三角形之间的联系

在学生对不同形状的三角形进行作高操作熟练之后，通过动图动态演示其形状的变化引起“高”位置的变化过程，让学生感受到随着三角形顶点的移动，三角形的形状也在不断地变化。当顶点移动形成直角三角形时，高也随之向右移动，“高”就和右边的直角边重合，直观理解了当直角三角形的一条直角边为底的时候，另一条直角边就是它的高，垂足就是两直角边的交点;接着引发学生猜想验证：顶点如果继续向右移动，三角形的高将会发生怎样的变化？采用慢镜头，让学生观察，将学生初步记忆里对高的表象一次次提取、改造和重组，理解了当三角形变成钝角三角形时，高继续随之向右移动，不过，这时高在三角形的外面，垂足在对应底边的延长线上。通过几何一系列显性化地动态演示（图11），学生不仅看到了从锐角三角形——直角三角形——钝角三角形的变化串联过程，丰富了对三角形的“形”感知，也看到了高的位置变化：内部的高——边上的高——外部的高，完善了对高的“从‘顶点向‘对边作‘垂线段”的“质”的感知，通过三类不同的三角形对高的位置动态变化，进行横向比较、联系，整体感知，突破教学的难点，深度把握了对三角形高的概念建构。

2. 三角形和其他平面图形之间的联系

除了构建以上横向的三角形之间高的变化的知识体系，教师还需将三角形的高与其他各平面图形的两平行线之间的高进行类比（图12）（平行线距离处处相等，所以这里面的三角形的高也相等，其次可以观察三角形与各平面图形之间的面积关系），将三角形的“高”放在知识的大背景中让学生整体感知和有效建构，为三角形的等积变形做好铺垫和埋伏。数学知识体系就像是一个大网络，每个数学知识点相当于其中的一个结点，而理解数学结点的方法或许有很多，让学生在数学课堂中感受到数学的“链状”结构，促进学生自主构建起网状式的知识体系或许是一种很好的方法。

教师借助媒体的直观动态演示，引导学生从以上两种不同的维度将“静态”的图形转向“运动”的图形，勾连“二维平面图形”间的关系，学生在变化的图形中找到了規律的变与不变：“在两平行线之间三角形的形发生变化，由于三角形的底相同，高相等，它们的面积不变。”“在正方形、长方形、平行四边形、梯形中，如三角形与这些图形同底等高，则三角形的面积是所在平面图形面积的一半（梯形除外）。”学生头脑中零散的知识逐渐被同化，对“形”与“面积”辩证的认识进一步明晰，从根源上理解了这些图形的面积计算都与“底、高”相关，与形无关。

[?]四、融会贯通，综合运用，提升思维

教学遵循数学的基本规律，将“知识间的内在联系”贯穿于全过程，突出新旧知识之间的联系，着力将新知嫁接在原有的知识树上，呈现出一种发展的动态，使之成为学生个人内部知识网络的一部分，有效实现知识结构的迁移同化。而不是像西医一样，头疼医头脚疼医脚，数学的教学从来都需要像中医一样讲究“疏通脉络”。通过以上每一个年级各个阶段的起点部分清楚地点明相应的“核心问题”，且在每一个阶段的学习过程中不断地重复这些问题中涉及的知识点进行有效串联，形成连贯的知识链，努力将平时局部课堂向整体课堂转变，那么构建基于核心素养和关键能力的数学课堂将指日可待。

解题的过程就是调用数学基础知识的过程。形成以上“画垂线——画高——同底等高的三角形的比较——同底等高的三角形与其他平面图形的比较”这样的知识体系后，学生对高的“前世”“今生”了然于心，让学生在重构过程中感受数学思维的“一脉相承”和融会贯通，为高的“后世”即对高的灵活应用奠定了基础，也就有了等积变换的前提和基础，为实现高年级线段比和面积比之间的相互转化提供了可能。如文初提到的图1，学生一下便能判断阴影部分的底边对应的高分别是谁。再如，一块三角形草地（如图13），底边长6米，现在要扩建这块草地，把底边延长2米，草地的面积就增加了3平方米，那么这块草地原来的面积是多少？学生很容易直观想象，如求原来三角形草地的面积，必须要知道原来三角形的高，而原来三角形的高与阴影部分三角形的高是同高，根据阴影部分三角形的面积和底就可以求出，问题就迎刃而解。同理，文初题3，学生的第一反应是利用三角形的等高，通过等积变形把右面的三角形转化成中间的三角形的形状，把两块阴影部分合并成一个直角三角形的面积，从而将不容易求的面积转化成容易求的面积（图14）。那么如开头所提到的“求四边形ABCD的面积”（图15），学生能快速将问题和知识连接起来，找到四边形和三角形之间的联系，连接AC，把四边形ABCD拆分成△ADC和△ABC两个三角形，而△ABC的高就是CE=6cm，△ADC的高就是AF=4cm;根据三角形的面积计算公式即可求出△ABC的面积和△ADC的面积，进而相加即可求出四边形ABCD的面积。将来高年级还可以利用线段比转化成面积比，如△ABC的面积是15平方米，AD是BD的2倍，那么△ACD的面积是多少？（图16）因为三角形的面积=底×高÷2，所以当高相等时，三角形的面积比等于底边长的比。因为△ACD和△BCD是等高三角形，所以它们的面积比是2∶1，由此问题得到了解决。通过以上多层次、多维度的综合练习，学生做到了深度思考——建立知识联系——解决问题——系列的高阶思维，把难题各个击破，久而久之，最终将知识内化成能力。

天下大事必做于细，教学亦是如此，教学不是一个点或一条线的实现，而是体现过程、能力、方法、态度等多方面的生成。如果教师在教学过程中有長远的眼光，给予学生一个弹性生成的空间，既重视教材对教学的指引功能，又不唯教材，活用教材，整合一切教学资源为“我”所用，树立结构化教学观，整体推进，注重数学知识间的纵横联系，揭示其本质属性，让学生整体感受和把握数学知识的融通过程，帮助他们建立一个完整的知识体系，那么我们的教学才真正做到了“实”，做到了“真”，才能让学生从单纯地得到“一时能记得住的知识”实现转向获得“一生能带得走的能力”。