从关联速度入手让思维进阶发生

摘要：关联速度问题与运动和力、功和能、冲量和动量都有密切的关系，如何高效地掌握关联速度之间的关系，关联速度之间的物理本质是什么呢？本文利用思维进阶的方式，对三类关联速度问题做探究，旨在通过分析做出归纳，体现逻辑，强调应用，给学生提供解题思路，最终达到提高解题能力的目的．

关键词：关联速度；思维进阶；速度分解；能量守恒

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0113-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：史剑辉（1990.10-），男，安徽省合肥人，本科，从事高中物理教学研究.

1 问题提出

如何对关联速度进行有效地复习教学，让深度学习真正发生在学生身上，使学生的思维能力在课堂上进阶呢？本文将从三个阶段，针对学生学习的实际情况，通过改变物理题设条件，实现思维的三层递进，达到培养学生物理核心素养、具备解决实际问题的能力．第一层次是几乎所有学生都知道的将合速度分解为沿绳（杆）方向的分速度和垂直于绳（杆）方向的分速度，两物体沿绳（或杆）方向分速度大小相等；第二层次是接触处两物体沿弹力方向的分速度相等；第三层次由能量守恒定律列方程求解．

2 思维进阶

2.1 绳物连接

例1（多选）如图1所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，設重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则（）.

A．vA>vB

B．vA

C．绳的拉力等于B的重力

D．绳的拉力大于B的重力

解析小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向的分速度与垂直于绳方向的分速度，如图2所示，由图可知vB=vAcosθ，则vA>vB，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．选项A、D正确．

点评本题考查关联速度问题，旨在引出关联速度的概念和基本解题方法，引导学生绳（或杆）与物体接触时，若绳（或杆）与物体的运动方向不共线时二者的速度关系．学生们都会按套路“将合速度沿绳（或杆）方向和垂直绳（或杆）方向进行分解，两物体沿绳（或杆）方向分速度大小相等”求解．这是思维的第一阶段，用此方法也能完成好些试题，但这个结论具有广泛性吗？

2.2 杆物连接

例2如图3所示，长为L的轻杆一端用铰链固定于O点处，另一端固定小球A，杆靠在质量为M、高为h的物块上．若物块以速度v向右运动且杆与物块始终保持接触，则当杆与水平方向的夹角为θ时，小球A的速率为（）.

A．vLsinθcosθhB．vLsin2θh

C．vLhD．无法确定

解析如图4所示，设物块与杆接触点离O点的距离为x，OA长为L，sinθ=hx，将物块的速度分解为沿杆的分速度和垂直杆的分速度，有v1=vsinθ，杆运动时杆上各点的角速度是相同的，v1x=vAL，解得：vA=vLsin2θh，选项B正确．

2.3 多绳物连接

例3（2022年湖北卷）打桩机是基建常用工具．某种简易打桩机模型如图5所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L．重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°．某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放．设C的下落速度为3gL5时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动L10距离后静止（不考虑C、D再次相碰）．A、B、C、D均可视为质点．

（1）求C的质量；

（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；

（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能．

解析（1）系统在如图5虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知mCg=2mgcos30°，解得mC=3m．

（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知mC3gL5=2mv，解得v=32gL5，CD碰撞后D向下运动L10距离后停止，根据动能定理可知（2mg-F）L10=0-122mv2，解得F=6.5mg．

（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图5中虚线与竖直方向的夹角为α，由几何知识和机械能守恒有12mcv′2+212mv2=mcgLtanα-2mg（Lsinα-L），由速度分解，v=v′cosα，令y=mcgLtanα-2mg（Lsinα-L），对上式求导数得dydα=3mgL-1sin2α+2mgLcosαsin2α，当dydα=0时，解得cosα=32，即α=30°，此时y=3mgLtanα-2mg（Lsinα-L）=mgL，解得v′2=gL34+32，此时C的最大动能为Ekm=12mcv′2=（4-23）mgL．

2.4 总结提升

示意图分解示意图速度关系

物杆连接

v杆=v物sinα（接触处两物体沿弹力方向的分速度相等）

v球sinα=v物（接触处两物体沿弹力方向的分速度相等）

物绳连接

v绳=v物sinα（物体沿绳方向的分速度与绳速度相等）

vB=vAsinα（接触处物体、某一绳沿弹力方向的分速度相等）

略

v绳=2v物sinα（接触处物体、绳沿弹力方向的分速度不相等）

略

vB=2vAsinα2（接触处物体、绳沿弹力方向的分速度不相等）

对例1，设细绳的拉力为F，绳与水平面所成的倾角为α，由能量守恒定律，Fv物cos（π-α）+Fv绳=0，解得：v物cosα=v绳，可看成把物体的水平合速度分解为沿绳的分速度和垂直绳的分速度；对例2，设杆和物块间的相互作用力为F，杆与水平面所成的倾角为α，由能量守恒定律，Fv杆cosπ+Fv物cos（π2-α）=0，解得：v杆=v物sinα，可看成把物体的水平合速度分解为沿杆的分速度和垂直杆的分速度；对例3，设每根细绳的张力为F，细绳与水平面所成的倾角为α，由能量守恒定律，2Fv绳+2Fsinα·v物·cosπ=0，解得：v绳=v物sinα，相当于把物体的竖直速度分解为沿绳的分速度和垂直绳的分速度.

归纳总结：关联速度问题本质上是能量守恒定律在运动的合成与分解中的具体应用，只有回归到能量守恒定律，问题才能迎刃而解了，背一些碎片化的结论，那都是不全面的．

将部分关联速度结论汇总如表1所示．

关联速度是运动板块中一类重要的物理问题，是运动合成与分解的典型代表，也是学生学习的重点、难点、甚至是痛点．本文针对学生学习的实际情况，通过改变物理题设条件，实现思维的三层递进，让学生在课堂上学习深度，实现思维进阶，如果学有余力的学生，教师还可设计不同类型的关连新情景，如：两线交点关连，照射关联等，还可用其他的方法拓展学生的视野，如：位移分解法（微元法）、导数法、等量分解法、相对运动法、转换参考系法、功能关系法等求解，在课余进一步提升自己的素养，提高物理解题能力．

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，物理課程教材研究开发中心.普通高中教科书·物理[M].北京：人民教育出版社，2020

[2] 许文.牵连体速度问题解析[J].教学考试，2021（04）：60-63.