分类讨论思想在高考解题中的应用研究

邵雪洁 白伟

摘要：本文以2018-2022年数学（理）全国Ⅰ卷为例，统计了历年分类讨论思想求解的试题题型与分数占比，并逐一举例说明.让教师与学生充分认识分类讨论思想的重要性与深刻性，为高中的教学和学习提供可信参考与启发.

关键词：分类讨论；思想；高考题；应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0107-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：邵雪洁（1993-），女，河南省信阳人，硕士，從事数学教学研究.

白伟（1983-），男，宁夏中宁人，硕士，教授，从事计算机技术与计算数学研究.

基金项目：宁夏高等学校一流学科建设（教育学学科）资助项目（项目编号：NXYLXK2017B11）.

1 前言

数学是一门高度抽象的学科，因此产生了数学独特的思想与方法.在高中数学学习中，思想与方法尤为重要.2022年高考，数学试卷的难度再次成为社会热点，很多学生抱怨高考题太难.这背后暴露的问题是没有正确掌握高中数学思想与方法，知识学习与掌握流于表面，导致基础不扎实，所以，教师在教学中要注重对学生思想方法的渗透，学生在学习中也要关注知识背后的数学思想方法.分类讨论是数学学习过程中的一种基本且重要的思想方法，可以有效将问题进行简单化处理，大大降低解题的难度.近几年高考中，分类讨论思想涉及题目所占分数比例居高不下.因此，本研究从高考题出发，研究分类讨论思想在数学解题中的重要作用，希望能为教师教学和学生学习提供一些启发.

2 相关理论

《数学辞海》第六卷指出：分类讨论方法是一种常用的研究方法，当被研究的问题包含多种可能的情况，而人们不能对它一概而论的时候，就需要按照问题出现的所有可能情况进行讨论，综合每种情况下相应的结论，从而使问题得以解决的方法.

分类讨论思想的关键在于分类，分类是将研究对象的全体按照一定的逻辑分成不同的小集合.分类需要遵循同一性原则和合理性原则，保证分类结果的准确性.同一性原则，即同一问题的分类标准要统一，不能交叉使用不同标准，这样才能避免分类结果的重叠或超出讨论对象的整体范围.从集合的角度来看，被分类的大集合可以由小集合合并组成，且小集合的交集是空集.合理性原则要求分类要有依据，根据研究对象和问题进行分类，而且要有利于问题的解决.当进行分类讨论时，一般可以遵循以下步骤：确定讨论对象的全体、对问题进行合理分类、对不同子类分别进行讨论、将所有子类的结果进行总结归纳.

3 分类讨论思想在高考解题中的应用统计

为了得到高考对于分类讨论思想考查的一般规律，笔者选取了2018年到2022年高考数学全国Ⅰ卷（理科）的5套试题为例，对题目类型、分数占比和考查知识点三个方面进行分析，分析结论见表1.

3.1 题目类型

从表1的统计数据可知，高考对于分类讨论思想考查的题目类型涵盖了所有高考试题类型.填空和选择大概率会涉及两道题目，分值约10分.解答题中的考查基本设置在最后两道综合性较强的题目中和两道选考题中，每套题目都有涉及，分值在25分左右.由此不难发现，对于分类讨论思想的考查较为集中地分布在综合性较强的难题之中.

3.2 分数占比分析

从表1的统计数据发现，2018-2022年高考题中关于分类讨论思想考查的分数占比均在20%-30%之间，每年分数占比相对稳定.从占比数值上来看，分类讨论思想的应用在高考考查中占有较大的比重，且居高不下，所以分类讨论思想的教学和学习应该受到教师和学生的特别重视.

3.3 考查内容分析

纵观5套高考题，关于分类讨论思想的考查涉及内容很广，几乎涵盖了数学学习的全部内容，主要包括概率问题、代数问题、函数问题、绝对值问题、几何问题、数列问题等.分类讨论思想运用范围的广泛性也决定了它在高中数学学习中的重要地位.

4 具体案例分析

4.1 函数问题

函数问题是高考考查的难点问题，分类讨论思想与函数问题的结合也是屡见不鲜，而且常常是压轴题目.函数单调性的讨论、含参数问题、不等式恒成立问题、交点问题等都是常见的考查形式.在函数问题中如何进行分类讨论，以2021年高考全国Ⅰ卷（理）第20题为例.

例1设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点.

（1）求a；

（2）设函数g（x）=x+f（x）xf（x），证明：g（x）<1.

分析（1）第（1）问需要求出含参数a的函数y=xf（x）=xln（a-x）的导函数，将x=0代入导函数中，可由极值点得到对应导函数值为零，可求出a=1.注意接下来还要验证当a=1时，x=0是函数y的极值点.

（2）由题意可得xf（x）≠0，所以自变量范围是x<1且x≠0，将自变量分为0xf（x），为了方便求导函数，令1-x=t，可构造新的函数求极值，同样需要讨论新函数单调性，可以得出新函数满足q（t）>q（1）=0，即可证明g（x）<1.

4.2 去绝对值问题

绝对值问题经常在高考选考题的不等式选讲部分进行考查，考查的方式多是用绝对值定义函数问题.绝对值由于其自身的定义，在进行去绝对值时要进行分类讨论.如果学生能够进行正确的分类并将绝对值去掉，那么由绝对值定义的函数将会转化为分段函数，然后根据函数性质进行作答即可.下面以2020年高考全国Ⅰ卷（理）第23题为例进行分析.

例2已知函数f（x）=3x+1-2x-1.

（1）画出y=f（x）的图象；

（2）求不等式f（x）>f（x+1）的解集；

分析（1）要画出函数f（x）的图象，需要判断绝对值内的正负，将绝对值去掉.可将自变量的取值分成三类进行讨论，即（-，-13］，（-13，1］和

（1，+）.函数表达式就可以变成无绝对值的分段函数，然后根据分段函数解析式，画出函数f（x）图象即可.

（2）将不等式进行移项后，用函数h（x）表示出f（x）-f（x+1），即h（x）=3x+1-3x+4+2x-2x-1，然后仿照第（1）问进行分类讨论去绝对值后，在每一类情况下令hx>0求出解集，最后将所有结果进行归纳综合，即可得出f（x）>f（x+1）解集.

4.3 解析几何问题

几何问题也是高中阶段的重难点问题，是高考中的重要考查内容，常常以解答题的形式出现.直线斜率的存在问题、参数问题、图形的位置关系等都是比较复杂的问题.这类问题通常需要应用分类讨论思想將复杂的问题简单化.下面以2022年高考全国Ⅰ卷（理）第20题进行举例分析.

例3已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，-2），B（32，-1）两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过点M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点；

分析（1）第（1）问只需设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，然后将A，B两点坐标代入椭圆方程中，求出a2和b2的值即可.

（2）第（2）问的问题比较复杂，但是涉及直线方程，首先要对直线斜率是否存在进行讨论.先讨论直线l斜率不存的情况，则过点P的直线方程是x=1，联立椭圆方程，可以得到点M，N的坐标，易求直线AB方程为y=23x-2，可求出点T坐标，根据MT=TH求出点H坐标，那么就可以求出直线HN的方程：y=（2+263）x-2，过点（0，-2）.

第二步讨论直线斜率存的情况，可以设直线方程

为y+2=k（x-1），联立椭圆方程求交点M（x1，y1）和N（x2，y2），可得x1+x2=6k（2+k）3k2+4，x1x2=3k（4+k）3k2+4，且T（3y12+3，y1），H（3y1+6-x1，y1），从而可求得直线HN的直线解析式，将（0，-2）代入验证成立，最终得出结论：直线HN过定点（0，-2）.

4.4 概率问题

概率问题在高考中属于必考题，很多题目的求解需要学生对问题进行分类，例如在排列组合、比赛问题、涂色问题中，都需要学生能够把握特殊元素或者特殊位置进行分类讨论.一般来说难度不大，偶尔也会有相对复杂的问题，但是无论何种难度的概率问题，学生能够把握问题的本质进行分类是正确解决问题的前提和关键.下面以2018年高考全国Ⅰ卷（理）第15题为例进行阐述.

例4从2位女生，4位男生中选3个人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.

分析本题考查实际情境中组合问题的概率求解，设置生活中的问题情景，考查学生的实际问题求解能力.学生只需将题目中的问题分成两类进行讨论，即一位女生参加和两位女生参加，然后分别求出概率，将两种情况的概率相加即可.

5 总结

本文通过对高考题的研究，发现高考特别重视对学生分类讨论思想的考查.这其实不难理解，高中数学学习的特点是内容多、难度大，而分类讨论思想能够简化研究对象，帮助发展学生的逻辑思维能力，所以有关分类讨论思想的命题在高考中长期占有着重要地位.因此，分类讨论思想方法的掌握无疑是高中数学学习成功的关键.教师在平时的教学中要以知识为载体，注重分类讨论思想方法的培养，从而提高学生问题解决的能力.

参考文献：

［1］《数学辞海》编辑委员会.数学辞海（第六卷）[M].上海：上海教育出版社，1998.

[2] 叶立军.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社，2008.