从三角函数领悟数学解题思路与方法

王文杰

摘 要：三角函数是高中数学中的重要内容，是历年来高考的一个热门考点，它内容丰富，题型多样，其中又蕴含着多种数学思想方法，值得我们总结和深思。本文就三角函数中蕴含的多种数学解题思路及思想方法通过实际例题加以说明，希望能给同仁的教学以及学生的学习带来帮助和启发！

关键词：数形结合 分类讨论 化归转化 方程换元

三角函数是基本初等函数之一，是高中数学的重要组成部分。在新课改中对数学思想方法的考查要求十分明确，三角函数三大知识块中蕴含了丰富的数学思想方法，学习这些思想方法有助于提高数学思维能力和解题能力。

一、数形结合思想方法

数形结合是数学研究中的重要思想方法和解题方法。由数到形，以形助数可以使问题直观呈现，加深对知识的记忆与理解，更可以丰富表象，拓宽思路，快速找到解题思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。

例1.已知函数的部分图象如图所示

（1）求A、的值；

（2）若方程上有两个不同的实根，试求的取值范围。

解：（1）由图像易知

由此得此函数图象是由的图象

沿x轴向左平移个单位长度得到的，故；

（2）由（1）知函数解析式为，那么方程

上有两个不同的实根等价于

的图象有两个交点。

如图为函数

由图可以看出有两个交点时，

评析：本题是三角函数中数形结合的一个很好的例子，把函数的代数表达式与图象结合起来可以拓宽思路，让我们更直观更形象地解决问题。

二、整体思想

整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有意识、有目的的整体处理来解决问题的方法。中学数学中整体思想的应用广泛，主要分以下三个步骤完成：（1）从整体出发，高瞻远瞩统筹局部；（2）通过对局部的研究，酝酿总体解决方案；（3）回到整体，实现解决整个问题的总目标。

评析：给值求值问题，即给出某些角的三角函数值，求另外一些三角函数值，解题的关键在于从整体思想出发进行“变角”，如，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围讨论。

例3.已知函数

为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为。

（1）求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间。

（2）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到

的图象。

评析：本题实质上是从整体把握求的解析式，从整体

思想方法的三部曲出发，在解析式确定后，再回过头来求的值及的单调性。

三、具体化思想方法

具体化思想方法又称为特殊化思想方法。特殊化思想方法是在解决一些较为抽象复杂的数学问题时，先考虑简单情形，或者考虑特殊对象、特殊位置，或者考虑极端情况，将抽象问题放到具体的特殊的问题中去，从而使一般性问题得到解决。

评析：本题主要考查函数性质，还考查学生分析问题的能力，要求对基本函数的性质能熟练运用（包括正用和逆用），解法二用取特殊值的方法使问题具体化，可以降低题目难度。

四、分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想就是数学中的分类讨论思想。

评析：本题因字母代替的量不确定即影响到对应的二次函数中对称轴与闭区间的位置，从而需要我们分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系，然后才能确定函数的最大值是在取多少时取最大，由此求出对应的值，再验证这个值是否在该情况下的的范围内，从而决定取舍。

五、化归转化思想

化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想，它的实质就是实现新问题向旧问题的转化。通俗地讲就是化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体的思想方法。

解法二：（从“函数名”入手，异名化同名）

解法三：（从“幂”入手利用降幂公式先降次）

解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

评析：三角函数式变形，常见方法有角的变换，函数名变换，降次或升次，公式变形，常数代换等等，化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值。

六、方程换元思想

从分析数学问题中的变量关系入手，用方程来反映变量之间的联系，解方程或对方程进行讨论，以及对较复杂问题恰当做变量替换，达到化繁为简，化难为易，化未知为已知的目的。

例7.已知，如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得山顶A的仰角为60°，求山的高度AB。

分析：先过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F构造直角三角形，由于图中有三个直角三角形，已知CD=400米，不好直接计算，可以设DE=x米，通过列方程求解。

评析：在利用直角三角形中的边角关系求线段长度时，如果涉及到两个或两个以上的三角形时，可以通过设未知数，利用线段之间的等量关系列出方程、解方程，从而使问题得到解决。

评析：本题看似复杂，我们通过观察发现，，通过换元再利用两角差的正切公式对原式左边乘积部分进行等价变换，最终达到证明的目的。

三角函数中涉及的内容较多，其中蕴含的数学思想方法也是多种多样，这就要求我们在了解各种思想方法实质和熟悉数学知识纵横联系的前提下，还要逐步学会灵活运用，慢慢地我们会发现原来数学中的奥妙无穷，令我们趣味横生！通过我们不断的研究和探索，我们的数学解题能力就会自然而然的得到提高，而且我们还能在前人的基础上对数学方法的探讨得到进一步的创新！

参考文献

[1]张奠宙.现代数学思想讲话[M]，南京：江苏教育出版社，1991年