浅论数形结合思想及其应用

胡尔轩

摘要：数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形）。“数”和“形”常按照一定的条件相互转化，数形结合思想是数学重要思想方法之一，并蕴于数学基础知识和基本技能之中，在数学解题中应用十分广泛。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，发挥“数”与“形”两种信息的转化、互补与整合，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。

关键词：数形结合；思想方法；空间形式；数量关系

数学的研究对象主要是数量关系和空间形式，因而数形结合是一种极富数学特点的信息转换。在中学数学教材中，我们可以看到处处渗透着数形结合的思想。如研究函数的性质，往往借助于函数的图象；研究不等关系往往借助于“数轴”；研究三角函数借助于单位圆等等，这些都直接体现了数形结合的思想。运用数形结合思想解题，不仅非常直观，而且也易于寻找解题途径，还能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，收到事半功倍的效果。数形结合的解题方法具有直观性、灵活性的特点。可以说，数形结合思想是中学数学中最常见、最有效的思想方法之一。但学生在平时的学习中不易把握，而它的应用却又十分的广泛。

一、数形结合思想的内涵

何谓数形结合？数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。关于数形结合，华罗庚先生也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。”

数形结合思想是通过数、形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。“形”中的一些量（如距离、角度、面积、体积等等）在一定单位制中可分别对应一些确定的“数”。通过这种对应，可使一些抽象的概念、复杂的数量关系借助其背景图形的性质，变得直观，便于找到解决问题的思路及方法。

二、数形结合思想的应用

（一）在方程与不等式中的应用

1.方程问题

判定一个二次方程根的个数时，通常用根的判定式“△”。然而，当一个二次方程中的未知数的取值范围受限制时，用“△”值判定根的个数就困难了，用数形结合法则可避免。

例：方程 有且只有一个实数根，求实数 的值；若该方程有两个不等的实数根，求 的取值范围。

分析 设方程左边为 ，其图形为半圆 ；方程的右边为 ，其图形为恒过点 的直线，研究方程 根的个数问题就可以转化成研究半圆与直线交点个数的问题。

解（1）建立如图1所示的坐标系，过点 作半圆的切线 ，则 与 轴平行且斜率为0.又 .由图知，直线 与半圆 只有一个交点时，即方程 只有一个实根时， ，或 或 .

（2）由图知，当 时，直线 与半圆 有两个交点，即方程 有两个实数[4].

2.不等式问题

含绝对值不等式的解法：

解含绝对值的不等式，把它转化成等价的图形，观察其结果比较简单.对于含参数的绝对值不等式问题，用数形结合，能以一种动态的眼光来看待静止的画面，并通过操作和观察来领会其中的关系。

例：已知关于 的不等式 的解集为 的子集，求 的范围.

分析 构造出图形后，让 绕点 旋转，通过旋转得出正确的结论.

解 设方程左边为 ，右边为 做草图，由图2可知 >-1.

一元二次不等式，一元高次不等式和分式不等式的解法：

我们知道一元二次函数 的图像是一条抛物线，当 时，抛物线的开口向上；当 时，抛物线的开口向下.当 时，方程 有实根，表示该抛物线与 轴有交点；当 0时，方程 没有实根，表示该抛物线与 轴无交点.如何运用数形结合法求解不等式 的解集呢？

其内容和步骤是：（1）分别将一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式中分子和分母的最高次项系数“若负化正”.（2）判别相应的方程是否有根，有根则解出方程的根.（3）将根在平面直角坐标系中标出来.（4）从右向左，从上向下将根用一条曲线一一串起来.（5）判断解集.以最高次项系数为正的不等式为准，若该不等式为大于0的不等式则看 轴上方的曲线；若该不等式为小于0的不等式，则看 轴下方的曲线。

例：解不等式

解 因为 ，所以不等式可以变形为 ，而方程 的 ，所以方程有实根 .这说明抛物线 与 轴有交点.如图3所示：

因为 ，所以应看 轴上方的图象，即 或 ，所以不等式 的解集为 .

例：解不等式

解 由题设知，原不等式可变形为 ，方程 有实根为 .说明曲线 与 轴有交点，如图4所示：

因 ，所以看 轴下方的图象，该图象有两部分：一部分在-1和2之间，另一部分在3和3之间，所以不等式 的解集为 .

（二）在集合中的应用

图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

而在讨论集合之间的关系时常见的有两种情况，一种是没有写出具体元素的集合，另一种是给出具体条件的集合。对第一种情况要具体考察它们之间的关系比较困难，只需按题设作出集合的图示（韦恩图）即可解决；而第二种情况可先求不等式的解集，将各个集合的取值范围在数轴上表示出来，观察它们之间的关系，这样就可以化抽象为具体，化难为易。

例：设 为全集， 是 的三个非空子集，且 ，则下面论断正确的是（）

分析 这是一种没有写出具体元素的集合，所以可按照题设作出集合的图示（韦恩图）即可.

解 因为 所表示的部分是图7中的阴影部分， 所表示的是图7中除去 的部分，所以 ，故选 .

例：已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围[7].

分析 这类集合用不等式表示，由图8所示，这时利用数形结合的方法解决形如 的问题，可避免分类讨论，解法新颖，巧妙.

解 设 ，由 ，可得： ，即 ，解得： ，所以 的取值范围是 .

（三）在函数中的应用

函数是中学数学中的重要内容之一，也是学习中的重难点。同时又是“数形结合”思想方法体现得最充分的章节。利用函数的图象既有利于掌握一次函数、二此函数、反比例函数、指数函数、对数函数的性质，又能运用”数形结合”的方法去解决某些问题。

运用数形结合方法求函数问题，主要是通过分析代数式的含义来揭示其几何意义，探寻解题的切入点，从而使问题获得解决。

1.求函数的最值

例：求函数 的最小值，并求相应的 值[4].

分析 将函数关系整理得： 将其看成点 的距离和最短的问题.

解 如图9所示，根据函数关系式的几何意义，将此问题转化为在 轴上求一点 ，使 最短.由于 在 轴的同侧，作出点 关于 轴的对称点 ，易得 的坐标为 ，则 三点共线时 最短.此时 ，可求得直线的方程为 .

联立方程 解得 .所以当 时， .

2.求参数的取值范围

例：设定义在 上的偶函数 在 上单调递减，若 ，求实数 的取值范围.

分析 利用偶函数图象关于 轴对称，以及偶函数的定义： ，有 .

解 如图10，根据题设条件可知： ，解得 的范围： .

3.求解方程转化成图像来解

例：若方程 有两根 ，且 ，求 的取值范围.

分析 若按照一元二次方程的知识来解，要列出两个不等式： ，容易出现计算错误，而且又费时，反之，根据图象来解既直观又简单.

解 根据题意知 ，图象开口向上，且与 轴有两个交点，分布在原点的两侧，由此画出示意图（图11），从图上可知抛物线与 轴的交点必在 轴的负半轴，也就是说，当 时， 即 ，所以 的取值范围是 .

数形结合思想在应用过程中，主要从两方面着手：一方面，可以“以形助数”，从“形”入手，通过对图形的观察处理，实现抽象概念与具体形象的联系与转化，化抽象为直观，化难为易；另一方面，“以数解形”，可以由“数”入手，将有些涉及图形的问题转化为数量关系来研究，对图形作精细的分析，从而使人们对直观图形有更精确、理性的理解。