沿绳方向加速度问题的深入思考

摘要：本文由一道联考题的争议引出沿绳方向加速度问题，再通过数学方法分析得出沿绳方向加速度的关系，最后结合高中物理教学实际，举例并归纳出沿绳方向加速度的关系.对培养师生物理学科核心素养中的“科学探究”有一定的指导意义.

关键词：绳连接模型；速度；加速度；是否相等

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0116-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：邓伟（1976.1-），男，特级教师，中学高级教师，从事高中物理教学研究.

高中阶段与绳连接有关的速度、加速度问题极为常见.处理绳牵连模型中速度分解问题时，教师经常用到的结论：沿绳方向的速度大小相等.但又引出另外一个值得我们深思的问题：沿绳方向的加速度大小是否相等？

1 一道联考题的思考

在一次区域联考中，笔者遇到一个很有争议的题目，题目如下：

例1如图1所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（）.

A．环刚释放时轻绳中的张力等于2mg

B．环到达B处时，重物上升的高度为（2-1）d

C．环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为22

D．环减少的机械能大于重物增加的机械能图1

原参考答案：B.

解析环刚开始释放后，重物由静止开始加速上升，故重物有向上的加速度，根据牛顿第二定律有F-2mg=2ma，得F>2mg，故A项错误；

有教师认为：环刚开始释放时，环的加速度为g，通过沿绳方向加速度相等，得到重物在环释放瞬间加速度为0，则绳的张力F=2mg，故A正确.那究竟哪种说法是正确的呢？

2 沿绳方向加速度关系与速度关系是否相同

假设沿绳方向加速度与速度的关系是一致的，以例1为例，设环到B点的加速度向下为aB，此时绳与杆的夹角为θ，若我们类比速度之间的关系，可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例进行反证：如果环下落到B点前，在外力作用下已保持匀速下落，在B点对环分析，有aB=0，从加速度关系可得，重物上升加速度a物=aB=0，说明重物也是匀速上升.但从速度关联的角度，当环匀速下落时，因为两者速度满足v物=vBcosθ，当环下落过程中，角度θ越来越小，利用余弦函数得出重物上升速度是越来越大的，说明重物的加速度竖直向上不为0.两个结论产生了矛盾，说明假设不成立：沿着绳方向加速度关系与沿绳方向速度关系不一定相同.

3 沿绳方向加速度关系的推导

同样借助例1，用数学方法来推导：

假设环下落到B点，环的速度为v，将v沿绳和垂直绳方向分解，得到两个分速度v1、v2，此时绳与竖直方向夹角为θ，如图2所示.利用速度关联，重物上升速度也是v1，满足v=v1cosθ.由于环和重物都是做竖直方向上的直线运动，故加速度也必然是竖直方向，利用加速度定义式a=dvdt得，环的加速度a=dvdt=dv1cosθdt.环下落过程中，重物的上升速度v1和绳子与杆的夹角θ都在发生变化，所以v1和θ都可以看成是关于t的函数.利用求导公式ftgt′=f  ′tgt-ftg′tg2t和复合函数求导公式

fg（t）′=f ′g（t）·g′（t）得：

a=dvdt=dv1cosθdt=cosθ·dv1dt-cosθ′·v1cos2θ=1cosθ·dv1dt+sinθcos2θ·dθdt·v1①

其中，重物上升加速度：a1=dv1dt②

角速度dθdt=-ω=-v2r③

（其中r为此时环到滑轮与绳的接触点（后面简称接触点）之间的绳长、v2是环沿着接触点转动的线速度，角度θ随时间增加而减小，所以有负号），重物上升速度v1=v2tanθ④

将②③④式代入①式得：

a=1cosθ·a1-1cosθ·v22r⑤

将⑤式变形可得：acosθ=a1+（-v22r）⑥

⑥式的含义：a1是重物上升的加速度，也可以理解为左端绳子伸长的加速度，acosθ是环的加速度沿着绳方向的分量，v22r是环到该位置时，环绕着接触点转动的向心加速度.

综上分析，我们可以得出结论：环的加速度沿绳的分量等于重物上升加速度（左端绳子伸长的加速度）与环绕点转动的向心加速度矢量和.

4 高中范围内，哪些情况物体沿绳方向加速度相等

4.1 绳两侧的物体速度方向与连接的绳平行，都做直线运动，不存在绕点转动.

例2如图3所示，A、B兩小球由绕过轻质定滑轮的轻绳相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上.现用手控制住A，并使轻绳刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与斜面平行.已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，轻绳与滑轮之间的摩擦不计.开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面.求：斜面的倾角α；图3

解析：由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，C的加速度为0；AB加速度时刻相等，此时为零.将ABC作为一个整体：

由牛顿第二定律得4mgsinα-2mg=0，

則sinα=12，α=30°.

4.2 物体做圆周运动存在绕点转动的情况，但速度为0

物体即使存在绕点转动的情况，如果速度为0，向心加速度也为0，所以沿绳方向的加速度仍然相同，这些情况一般出现在开始运动时或运动结束时.

例3（2018江苏卷）如图4所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：图4（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T.

答案：（3）T=8mMg5（m+M）（T=4855mg或T=811Mg）

解答第（3）时，要注意运动过程分析，弄清小球加速度和物块加速度之间的关系，因小球下落过程做的是圆周运动，当小球运动到最低点时速度刚好为零，所以小球沿AC方向的加速度（切向加速度）与物块竖直向下加速度大小相等.第（3）问解答过程如下：根据机械能守恒定律，小球回到起始点，速度为0.M、m沿绳子方向加速度相等，设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T，对M用牛顿运动定律Mg-T=Ma.对m用牛顿运动定律T-mgcos53°=ma.联立两式解得T=8mMg5（m+M）（T=4855mg或T=811Mg）

对例1分析，也属于第二类情况，由于初速度为0，所以沿绳方向加速度相同，由于初始位置的绳子与环的加速度方向垂直，故重物上升加速度为0，此时绳子的拉力等于物体受到的重力，故A选项为正确答案.

5 综述

通过对沿绳方向加速度问题的深入思考，可以得如下结论：连接体沿绳方向加速度的关系与速度间的关系不一定相同.我们既要考虑平动的加速度，也要考虑转动时的向心加速度.在高中物理绳牵连模型中，下列两种情况的加速度与速度关系是相同的：第一，绳两侧的物体速度方向与连接的绳子平行，都做直线运动，不存在绕点转动的情况；第二，物体做圆周运动存在绕点转动时，但速度为0的情况.

参考文献：

［1］张赟.这里的加速度不满足矢量运算吗？ ——谈绳牵连物体运动模型中物体和小车的速度和加速度［J］.物理教师，2010，31（2）：29-30.

［2］ 徐海鹏.分解法解决绳牵连模型中加速度问题的尝试［J］.物理通报，2012（3）：57-58.

［3］ 孙翔.三种方法破解绳牵连模型中的加速度问题［J］.物理通报，2015（6）：67-70.