一道平几题的变式与类比

浙江省嵊州中学 (312400) 叶国芳

图1

题目如图1,ΔABC的内切圆的圆心为O，BC边的切点为D，DE为内切圆的直径，连AE并延长，交BC于F，则BF=DC.

文献[1]中给出了8种详尽的解法，其中有平几法、三角法、解析法等等.本文旨在研究它的变式与类比，将其推广到圆锥曲线中，并用解析法给予证明，与大家分享.

变式(第十届中国香港数学奥林匹克)设F是ΔABC边BC上一点，且满足AB+BF=AC+CF，线段AF与ΔABC的内切圆交于点E,Y，且E距点A更近一些，ΔABC的内切圆与边BC切于点D.证明：(1)DY⊥AF;(2)EF=2OA′，其中O为ΔABC的内心，A′为边BC的中点.

此变式与原题的条件和结论刚好互换，由原题的结论BF=DC易得BD=CF，于是有AB+BF=AC+CF.其本质是点F为∠A内的旁切圆与边BC的切点，且点A是∠A内的旁切圆和内切圆的位似中心，E和F是对应点，故过点E的切线与BC平行，从而DE为圆O的直径，故DY⊥AF.对于第二问，有条件易得BF=DC，而A′为边BC的中点，故A′为FD的中点，因此EF=2OA′.文献[2]给出了详细的解答，此处不再赘述.

类比1 已知有心圆锥曲线W的中心为O，ΔABC的三边AB、AC、BC所在直线与曲线W都相切，切点分别为P、Q、D，直线DO与曲线W交于点E，直线AE交BC于F，则BF=DC.

证明：设圆锥曲线W的方程为mx2+ny2=1(mn≠0)，A(x0,y0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，D(s,t)，则E(-s,-t).

由题意，可得切线AB：mx1x+ny1y=1①;切线AC：mx2x+ny2y=1②;切线BC：msx+nty=1③.

又直线AF的方程为(y0+t)(x-x0)-(x0+s)(y-y0)=0,即(y0+t)x-(x0+s)y=tx0-sy0④.

又由①②得PQ的方程为mx0x+ny0y=1.

由题意可知要证|BF|=|DC|，即证|BD|=

化简⑤式分子(x1+x2)t2-st(y1+y2)-t(x1y2+x2y1)+2sy1y2=(x1+x2)t2-st·

=|DC|.

当m=n>0时，曲线W为圆(如图1)；当m>0,n>0，且m≠n时，曲线W为椭圆(如图2)；当mn<0时，曲线W为双曲线(如图3)；

图2 图3

当把有心圆锥曲线对应为无心圆锥曲线(抛物线)时，直线AF变为与X轴平行的直线，于是可得下面的类比：

类比2 设抛物线W的方程为y2=2px(p>0)，ΔABC的三边AB、AC、BC所在直线与曲线W都相切，切点分别为P、Q、D，直线AF∥X轴，交BC于F，则|BF|=|DC|.

图4

由题意可知:要证|BD|=|CF|，即证xD-xB=xC-xF，即证xD+xF=xC+xB.