三圆两两外切的空隙圆

毛舜华

一、引理 在△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，而且AE=AF=a，BF=BD=b，CD=CE=c，a>0，b>0，c>0（如图1），那么

（1） = 。 （1）

（2）△ABC的内切圆与边BC，CA，AB，分别切于点D，E，F。

（3）△ABC的内切圆的半径R= 。 （2）

证明（1）△ABC的三边长分别为AB=a+b，BC=b+c，CA=c+a，半周长p= （AB+BC+CA）

=a+b+c，由三角形面积的海伦公式得

= = 。

（2）设△ABC的内切圆的圆心为O，⊙O切边BC，CA，AB于L，M，N.由切线性质得AM=AN，BN=BL，CL=CM，而且

AM+BN=AN+BN=a+b

BN+CL=BL+CL=b+c

CL+AM=CM+AM=c+a

由这三式解得AM=a=AE，BN=b=BF，

CL=c=CD，从而L与D重合，M与 E

重合，N与F重合。

（3）因D，E，F是⊙O与边BC，CA，AB的

切点，所以OE丄CA，OD丄BC，OF丄AB，而且OD=OE=OF=R， = + + =

R（AB+BC+CA） =R（a+b+c），再由（1）式得R= .

说明，在引理中，若分别以△ABC的三顶点A、B、C为圆心，以a、b、c为半径作圆，那么⊙A、⊙B、⊙C两两外切，而且OF、OD、OE就是⊙A、⊙B、⊙C两两的公切线。

二、空隙圆的半径

在一平面上，设⊙A，⊙B，⊙C两两外切，切点分别是AC上的点L，AB上的点M，BC上的点N.显然，由弧线LM，MN，NL所围成的“三角形”区域（简称空隙域）內，存在一个⊙P与⊙A，⊙B，⊙C都外切，称此圆为空隙圆（见图2）。

定理 在一平面上，设⊙A，⊙B，⊙C两两外切，而且它们的半径分别为 ， ， ，则与⊙A，⊙B，⊙C都外切的空隙圆⊙P的半径为

r= . （3）

其中R= ， =1+ ，i=1，2，3. = . （4）

证明 在图2中，设O为△ABC的内心，连接OL，OM，ON。由引理及其说明知，OL，OM，ON分别是⊙A与⊙C、⊙A与⊙B、⊙B与⊙C的公切线，而且是△ABC的内切圆的半径，再设⊙P分别与⊙A、⊙B、⊙C外切于点Q，T，S，过Q、T、S分别作⊙P的切线，三切线两两相交于D、E、F，由引理及引理的说明知， D、E、F分别在线段ON，OL，OM内，而且是△BOC，△COA，△AOC的内心，设DN= ，EL= ，FM= ，那么 、 、 分别是△BOC、△COA、△AOC的内切圆的半径.由切线性质知，△DEF的三边边长分别为 + ， + ， + .由引理知△DEF的内切圆⊙P

的半径r= ，下面求 、 、 。

设△ABC的内切圆半径为R，.连接BF，BD，则BF，BD分别是∠MBP，∠NBP的角平分线，且BP⊥DF。设∠MBF= ，∠NBD= ，则 + = ∠MBN=∠MBO.在Rt△BMF、Rt△BND、Rt△BMO

中，tg = = ，tg = = ， = =tg∠MBO=tg（ ）= = ，于是

+ + =R （5）

同理可得 + + =R， + + =R （6）

（5）（6）变形得

（7）

方程组（7）的每个方程的两端都乘以R后再变形得

（8）

令 =1+ ，i=1，2，3. = . 因为D，E，F分别在线段ON，OL，OM内，且ON=OL= OM=R，

所以 ， ， .将方程组（8）的三个方程两端相乘后再开平方，便得 = ，此式与（8）可解得 -1= ， -1= ， -1= ，

所以 = ， = ， = . （9）

于是 = = ，

+ + = + +

=

=

= 。

所以r= = ，

其中R， ， ， ， 由（4）式确定。

推论1当 = = 时，r= 。 （10）

证明 由（4）式，R= ， = = =1+ = ， = ，将它们代入（3）式得（10）。

推论2当 = 时，

r= （11）

证明 据（4）式， R= ， = =1+ =

，

= ， = .将它们代入到（3）式经化简即得（11）。

参考文献

[1]数学手册。人民教育出版社，1979年5月。

[2]许莼舫初等几何四种，中国青年出版社1978年10月。