“1cm2”到底是如何“多”出来的？

王山祥

有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2.把这张纸片按图1所示剪开，再把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，其面积是65cm2.这样就出现了“64=65”的奇怪现象！这是可能的吗？下面我们通过实际操作检验一下.

我们先找一张8cm×8cm的正方形纸片，按图1所示剪开，再按图2拼合，似乎看不出有什么问题.这就奇怪了，无中不能生有，64cm2的纸片是不可能变成65cm2的，问题究竟出在什么地方呢？这个“多”出的1cm2的面积究竟是如何得来的？看来，我们得仔细研究一下

如图4，而当我们把图1中的甲、乙两小块按拼合在一起时，线段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因为线段DE比DE′小，所以图4与图3并不相同.当线段DE=3cm时，甲、乙两小块的拼合并不能构成Rt△ABC，而是构成四边形ABCE.

如图5，实际上，我们重新拼合的图形并不是如图2所示，而是如图5所示，即中间有空隙的一个长方形.那么，图5中的空隙四边形AECF的面积是否就是“多”出的1cm2呢？下面我们计算一下四边形AECF的面积.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四边形AECF是平行四边形.

（2）如图6，作EL⊥CF，垂足为L.延长DE交CM于点H，交CF于点G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）计算EG的长度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因为Rt△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通过推理证明，由图1中的纸片剪开后并不能拼成如图2所示的图形，而是拼成一个长为13cm，宽为5cm的中间有空隙的长方形，这个空隙的面积恰好是1cm2，因此重新拼成的图形的面积并不等于如图2所示的长方形的面积，新拼成的图形的面积应该是这个长方形的面积减去中间空隙的面积，即65-1=64cm2.

既然这样，为什么我们在前面动手剪纸片和拼接的过程中并没有发现这个空隙呢？这是因为拼接后的图形中空隙是十分细小的，空隙平行四边形AECF的高仅有173cm，

约0.117cm，即1毫米稍微过一点点而已，所以我们在前面动手拼图时往往发现不了这个空隙，即使发现了也以为是我们剪切与拼合时的误差而忽略掉，这就是我们当初得到“64=65”的原因（而图4、图5、图6中的空隙是为了论述的需要，我们有意地夸大了）.可见，在数学学习中，我们的直觉并不可靠，如果仅仅靠直觉学习，有时可能会得出错误的结论.我们一定要对数学命题进行严密的推理与论证，才能得到正确的结论.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2.把这张纸片按图1所示剪开，再把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，其面积是65cm2.这样就出现了“64=65”的奇怪现象！这是可能的吗？下面我们通过实际操作检验一下.

我们先找一张8cm×8cm的正方形纸片，按图1所示剪开，再按图2拼合，似乎看不出有什么问题.这就奇怪了，无中不能生有，64cm2的纸片是不可能变成65cm2的，问题究竟出在什么地方呢？这个“多”出的1cm2的面积究竟是如何得来的？看来，我们得仔细研究一下

如图4，而当我们把图1中的甲、乙两小块按拼合在一起时，线段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因为线段DE比DE′小，所以图4与图3并不相同.当线段DE=3cm时，甲、乙两小块的拼合并不能构成Rt△ABC，而是构成四边形ABCE.

如图5，实际上，我们重新拼合的图形并不是如图2所示，而是如图5所示，即中间有空隙的一个长方形.那么，图5中的空隙四边形AECF的面积是否就是“多”出的1cm2呢？下面我们计算一下四边形AECF的面积.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四边形AECF是平行四边形.

（2）如图6，作EL⊥CF，垂足为L.延长DE交CM于点H，交CF于点G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）计算EG的长度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因为Rt△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通过推理证明，由图1中的纸片剪开后并不能拼成如图2所示的图形，而是拼成一个长为13cm，宽为5cm的中间有空隙的长方形，这个空隙的面积恰好是1cm2，因此重新拼成的图形的面积并不等于如图2所示的长方形的面积，新拼成的图形的面积应该是这个长方形的面积减去中间空隙的面积，即65-1=64cm2.

既然这样，为什么我们在前面动手剪纸片和拼接的过程中并没有发现这个空隙呢？这是因为拼接后的图形中空隙是十分细小的，空隙平行四边形AECF的高仅有173cm，

约0.117cm，即1毫米稍微过一点点而已，所以我们在前面动手拼图时往往发现不了这个空隙，即使发现了也以为是我们剪切与拼合时的误差而忽略掉，这就是我们当初得到“64=65”的原因（而图4、图5、图6中的空隙是为了论述的需要，我们有意地夸大了）.可见，在数学学习中，我们的直觉并不可靠，如果仅仅靠直觉学习，有时可能会得出错误的结论.我们一定要对数学命题进行严密的推理与论证，才能得到正确的结论.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2.把这张纸片按图1所示剪开，再把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，其面积是65cm2.这样就出现了“64=65”的奇怪现象！这是可能的吗？下面我们通过实际操作检验一下.

我们先找一张8cm×8cm的正方形纸片，按图1所示剪开，再按图2拼合，似乎看不出有什么问题.这就奇怪了，无中不能生有，64cm2的纸片是不可能变成65cm2的，问题究竟出在什么地方呢？这个“多”出的1cm2的面积究竟是如何得来的？看来，我们得仔细研究一下

如图4，而当我们把图1中的甲、乙两小块按拼合在一起时，线段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因为线段DE比DE′小，所以图4与图3并不相同.当线段DE=3cm时，甲、乙两小块的拼合并不能构成Rt△ABC，而是构成四边形ABCE.

如图5，实际上，我们重新拼合的图形并不是如图2所示，而是如图5所示，即中间有空隙的一个长方形.那么，图5中的空隙四边形AECF的面积是否就是“多”出的1cm2呢？下面我们计算一下四边形AECF的面积.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四边形AECF是平行四边形.

（2）如图6，作EL⊥CF，垂足为L.延长DE交CM于点H，交CF于点G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）计算EG的长度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因为Rt△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通过推理证明，由图1中的纸片剪开后并不能拼成如图2所示的图形，而是拼成一个长为13cm，宽为5cm的中间有空隙的长方形，这个空隙的面积恰好是1cm2，因此重新拼成的图形的面积并不等于如图2所示的长方形的面积，新拼成的图形的面积应该是这个长方形的面积减去中间空隙的面积，即65-1=64cm2.

既然这样，为什么我们在前面动手剪纸片和拼接的过程中并没有发现这个空隙呢？这是因为拼接后的图形中空隙是十分细小的，空隙平行四边形AECF的高仅有173cm，

约0.117cm，即1毫米稍微过一点点而已，所以我们在前面动手拼图时往往发现不了这个空隙，即使发现了也以为是我们剪切与拼合时的误差而忽略掉，这就是我们当初得到“64=65”的原因（而图4、图5、图6中的空隙是为了论述的需要，我们有意地夸大了）.可见，在数学学习中，我们的直觉并不可靠，如果仅仅靠直觉学习，有时可能会得出错误的结论.我们一定要对数学命题进行严密的推理与论证，才能得到正确的结论.

（责任编辑 钟伟芳）endprint