一道三角不等式的探讨

安徽省岳西县汤池中学 (246620) 余娟娟 杨续亮

本文对不等式①进行研究，得到以下结论：

定理1 设△ABC的三边为a,b,c，外接圆半径和内切圆半径分别为R,r，求证：

为了证明不等式②和③，先给出四个引理.

引理1[1]在△ABC中，有∑ab=s2+4Rr+r2,

∑a2=2(s2-4Rr-r2)，∑a3=2s(s2-6Rr-3r2)，∑a4=2(s2-4Rr-r2)2-8s2r2.

利用引理1和abc=4Rrs，可得(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)=(2s+a)(2s+b)(2s+c)=8s3+4s2(a+b+c)+2s(ab+bc+ca)+abc=16s3+2s(s2+4Rr+r2)+4Rrs=18s3+12Rrs+2r2s;

∑a(2s+b)(2s+c)=∑a[4s2+2s(b+c)+bc]=∑a[4s2+2s(b+c)+bc]=∑a[4s2+2s(2s-a)+bc]=∑(8s2a-2sa2+abc)=8s2(a+b+c)-2s(a2+b2+c2)+3abc=12s3+28Rrs+4r2s;

由引理2和⑤式等号成立的条件可知，不等式③等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.