2021新课标Ⅰ卷第19题的解法探究

安徽省合肥一六八中学 (230601) 吴志勇 王中学

2021年高考新课标Ⅰ卷第19题是一道解三角形问题，主要考查了利用正余弦定理处理三角形中的边角关系，也考查了分析问题、解决问题以及运算求解能力等数学素养，体现了朴实中重视基础，常规中考查能力，为引领在新课程、新教材下开展高中数学教学起到了良好的导向作用.本文就此题的解法开展研究.

一、试题呈现

原题记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、解法探究

(法2)在△ABC中，由b2=ac得b·sin∠ABC=a·sinC，又BD·sin∠ABC=a·sinC，

∴b·sin∠ABC=BD·sin∠ABC.∵sin∠ABC≠0，∴BD=b.

评注：解法1是利用△ABC与△ABD中∠A的余弦值相同，解法2是利用△ABC与△BCD中∠C的余弦值相同，解法3是利用△ABD与△BCD中∠ADB和∠BDC互补，余弦值的和为0，三种方法本质相似，借助角之间的关系以及已知条件b2=ac和AD=2DC来找出边a,b,c之间的等量关系，对学生的运算能力要求较高；解法4通过对已知条件BD·sin∠ABC=a·sinC的推理，找到∠ABC与∠BDC互补，继续可以利用余弦定理找出边之间的关系，而解法5则是利用了三角形相似得到了边之间的关系，方法巧妙，对学生的逻辑推理能力要求较高；解法6和7根源是余弦定理，但是分别利用了向量法和坐标法，一个是正余弦定理的推导工具，一个是三角函数概念的应用，方法不难，容易被忽略.本题充分体现了选拔功能，要求不同的学生选择不同的方法解决问题.

三、命题推广