一道竞赛试题的多解及推广

福建省福清第一中学 (350300) 叶诚理福建省福清第三中学 (350315) 何 灯

1.试题赏析

2.试题解析

评注：本解法通过正弦定理把边b,c的关系转化成角度B,C的关系，结合三角形内角和关系，运用三角恒等变换公式，转化成与角C相关的三角函数计算问题.

评注：本解法仍然是通过正弦定理把边的关系转化成角的关系，与解法一不同之处在于通过联立角A,B,C的关系，把角B,C统一用角A表示，从而得到关于角A的三角关系式，体现了消元、方程思想在解三角形中的应用.

图1

评注：本解法通过添加辅助线将角B分解为两个角，从而构造两个三角形相似，利用余弦定理构建边a的方程，实现了面积的转化计算.

图2

评注：本解法通过建立坐标系实现把解三角问题运用解析几何知识来求解.关键是几何条件代数化，其中，以B为原点的好处是可以根据AB=1把点A看单位圆上点，用角B巧设点A坐标，利用直线AC斜率表达式，把边a关系转化成角B的三角函数，进而通过AC距离公式计算sinB，最终转化成面积.

3.试题推广

借鉴解法二的证明，我们可以得到更一般的结论.

推广在△ABC中，AB=c，AC=b，其中b>c且B-C=α>0，则△ABC的面积为