研究习题 提炼方法

焦良存

苏科版《数学》九年级上册第74页第11题是：

如图1，△ABC的周长是24，面积是48，求它的内切圆的半径.

解：设内切圆的圆心为O，半径为r，与△ABC三边的切点依次为D、E、F，连 接AO、BO、CO、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，S△ABC=S△ABO+S△BCO+SACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. ∵△ABC的周长是24，面积是48，∴AB+BC+AC=24，S△ABC=48，∴r×24=48，r=4.

一般地，应用上述方法，可以得到结论：

已知△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则r=.（请同学们自己证明）

由此我们可发现一种重要的解题方法——将图形分割，再利用整体面积等于各个部分面积之和，即可得到一个等量关系，进而解决问题，这是一种行之有效的解题策略.下面我们应用这种方法来解决一类问题.

例1 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=6，AD=4，求☉O的半径r.

【解析】连接OA、OB、OC，将Rt△ABC分成3个三角形，分别为△OAB、△OBC、△OCA，它们的高都是内切圆的半径，根据整体等于部分之和（设r为内切圆的半径）可得：S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. 连接OE、OF、OD，根据“切线垂直于过切点的半径”可知OE⊥BC、OF⊥AC，又∠ACB=90°，所以四边形OECF是矩形，又OE=OF，所以四边形OECF是正方形，CE=CF=r，根据“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”，所以AF=AD=4，BE=BD=6，于是有S△ABC=r（10+6+r+4+r）=r（10+r），又S△ABC=AC·BC=（6+r）（4+r），∴有（6+r）（4+r）=r（10+r），解之得r1=2，r2=-12（不合题意，舍去），所以☉O的半径为2.

一般地，应用上述方法，可以得到结论：

已知直角三角形，a、b是直角边长，c是斜边长，则其内切圆半径r=（a+b-c）.

例2 （1） 如图3，已知等边△ABC内任意一点O到各边的距离分别为r1、r2、r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（为定值）. （2） 拓展与延伸：