合理选解法 巧妙用“关系”

张启

一元二次方程是初中数学的重点内容之一，也是大家今后学习数学的基础，同时又是中考的热点，其中一元二次方程解法的选择，根与系数的关系等都是重点及难点.

一、 一元二次方程的解法

解一元二次方程的基本思想是“降次”，通过“降次”将它化为两个一元一次方程. 一元二次方程的基本解法有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 在具体问题中如何选择是同学们感觉较困难的，下面通过几个具体题目给大家分析一下.

例1 解方程：（3x+1）2=9.

【分析】观察式子的特点，左边是完全平方式，右边是非负数，可以用直接开平方法解决问题.

解：∵（3x+1）2=9，∴3x+1=±3，

∴x1=，x2=-.

【点评】用直接开平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程，其解为x-m=±，即x1=m+，x2=m-，凡是经过变形后可以化成上述形式的都可以用直接开平方法求解.

例2 （2014·江苏徐州）解方程：x2+4x-1=0.

【分析】观察本题的形式，二次项系数为1，一次项系数为偶数，可以用配方法解决.

解：∵x2+4x-1=0，

∴x2+4x+4=5，（x+2）2=5，

x1=-2+，x2=-2-.

【点评】本题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握. 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务. 一般情况下用于解二次项系数为1、一次项系数为偶数的一元二次方程较为简单.

例3 （2014·江苏无锡）解方程：x2-5x-6=0.

【分析】仔细观察本式的特点，二次项系数为1，一次项系数为-5（奇数），虽然可以用配方法，但是在配方时方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，该数是分数，计算有点麻烦，所以可以考虑用公式法. 用公式法就是指利用求根公式x=，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式即可得到方程的根，但要注意当b2-4ac<0时，方程无解. 对于本题应先判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式.

解：∵a=1，b=-5，c=-6，

∴b2-4ac=（-5）2-4×1×（-6）=49>0，

∴x===，

即x1=6，x2=-1.

【点评】公式法可以求任何一个一元二次方程的解，在找不到简单方法时即考虑使用公式法.使用公式法时应先把一元二次方程化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简.

例4 （2014·浙江嘉兴）方程x2-3x=0的根为________.

【分析】观察本式的特点会发现左边可以进行因式分解，分解成两个一次因式的积的形式，右边为0，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根，这种求解方程根的方法就是因式分解法.

解：∵x2-3x=0，∴x（x-3）=0，

∴x=0或x-3=0，

∴x1=0，x2=3.

【点评】使用因式分解法时，方程的一边分解成两个一次因式的积的形式，另一边为0，这样才能达到降次的目的，进而求出方程的解.

【总结】从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为直接开平方法、因式分解法、配方法和利用求根公式法. 在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式、配方等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法. 其中直接开平方法是最基本的方法，公式法和配方法是最重要的方法. 公式法适用于任何一个一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解. 配方法是推导公式法的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程，除非方程满足二次项系数为1、一次项系数为偶数的条件，但是配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一.

二、 巧用根与系数关系（韦达定理）

今年苏科版教材对于根与系数关系（韦达定理）这部分内容有了新的变化，由原来的阅读材料改变为选讲内容，这是对根与系数关系（韦达定理）的一种重视，我认为作为初、高中的一个衔接内容，它的地位有所上升，可以大胆预测在以后的中考考卷中会出现相关的考题. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，这就是一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理. 现在就如何利用根与系数关系解决一元二次方程中的有关问题略举几例.

例5 （2014·四川南充）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根.

（1） 求实数m的最大整数值；

（2） 在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x2 1+x2 2-x1x2的值.

【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，由根的判别式可知b2-4ac>0，就可以求出m的最大整数值，接着确定该一元二次方程，最后利用韦达定理求出x1+x2、x1x2的值.

解：（1） 由题意，得：

b2-4ac>0，

即：

-22-4m>0，m<2，

∴m的最大整数值为m=1.

（2） 把m=1代入关于x的一元二次方程x2-2x+m=0，

得x2-2x+1=0，

根据根与系数的关系：

x1+x2=2，x1x2=1，

∴x2 1+x2 2-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2

=（2）2-3×1=5.

【点评】利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而求出参数的值，对于第二问求x2 1+x2 2-x1x2的值，求出方程的根，然后代入求解很明显要复杂，而借助韦达定理避免了繁琐的运算，很容易就解决了问题，一般情况下关于方程根的一些运算可以不解方程，利用韦达定理更简单，更方便.

例6 （2014·四川泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根. 若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值.

【分析】本题是含有参数的一元二次方程，直接求解方程的根很显然要复杂一些，而利用韦达定理就能很容易得出x1+x2、x1x2，但是对于含参数的一元二次方程一定要注意对根的判别式的计算，这是很多同学最容易遗漏的地方.

解：已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，

∴b2-4ac≥0，

即[2（m+1）]2-4×1×（m2+5）≥0，

∴m≥2，

x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，

∴（x1-1）（x2-1）=x1·x2-（x1+x2）+1=28，

即m2-2m-24=0，

∴m1=6，m2=-4（舍去）. 即m=6.

【点评】对于含有参数的一元二次方程利用韦达定理，一定要注意验证根的判别式. 和根有关的运算首先要考虑利用韦达定理. 作为新教材的一个变化，我相信它的地位会越来越重要，希望同学们引起足够的重视.

小试身手

1. （2014·山东威海）方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ）.

A. -2或3 B. 3

C. -2 D. -3或2

2. （2014·山东德州）方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x2 1+x2 2=4，则k的值为______.

3. 选用适当的方法解下列方程.

（1） 3x2+4x-7=0；

（2） 4（x-1）2-9=0；

（3） （x+2）2=2x+4；

（4） （x-1）（x+2）=4；

（5） x2-4x-1=0.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）