三角形半角正切立方和的几何不等式的加强

杨标桂

福建师范大学数学与统计学院 (350007)

文[1]收录了如下关于三角形半角正切立方和的几何不等式:

本文将利用r-s-R法并结合著名的Gerretsen不等式和Kooi不等式.给出不等式(1)的加强.

定理设r,R,s分别为△ABC的内切圆半径、外接圆半径与半周长,则有

为了证明不等式(2)，我们先利用r-s-R法给出几个关于三角形半角正切的公式.

引理1 设r,R,s分别为其内切圆半径、外接圆半径与半周长,则有

16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).

其中∑,∏分别表示循环和与循环积.

公式(4)是熟知的半角正切公式.

不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右边不等式就是著名的Kooi不等式.